1
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CM
12 tháng 10 2017
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Nếu x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 thì:
x + y + z ≥ 0
x - y 2 + y - z 2 + z - x 2 ≥ 0
Suy ra:
x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z ≥ 0 ⇔ x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 x y z
Hay: x 3 + y 3 + z 3 3 ≥ x y z
CM
19 tháng 11 2018
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Nếu a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 thì :
27 tháng 9 2021
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y+1=0\\y^2+2z+1=0\\z^2+2x+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+2y+1+y^2+2z+1+z^2+2x+1=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x=y=z=-1\)(do \(\left(x+1\right)^2,\left(y+1\right)^2,\left(z+1\right)^2\ge0\forall x,y,z\))
a) \(A=x^{2020}+y^{2020}+z^{2020}=\left(-1\right)^{2020}+\left(-1\right)^{2020}+\left(-1\right)^{2020}=1+1+1=3\)
b) \(B=\dfrac{1}{x^{2020}}+\dfrac{1}{y^{2020}}+\dfrac{1}{z^{2020}}=\dfrac{1}{\left(-1\right)^{2020}}+\dfrac{1}{\left(-1\right)^{2020}}+\dfrac{1}{\left(-1\right)^{2020}}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1}=3\)
12 tháng 1 2023
a: (x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3
=(x+y+z-x)(x^2+2xy+y^2-x^2-xy-xz+z^2)-(y+z)(y^2-yz+z^2)
=(x+y)(y+z)(x+z)
b: x^3+y^3+z^3=1
x+y+z=1
=>x+y=1-z
x^3+y^3+z^3=1
=>(x+y)^3+z^3-3xy(x+y)=1
=>(1-z)^3+z^3-3xy(1-z)=1
=>1-3z-3z^2-z^3+z^3-3xy(1-z)=1
=>1-3z+3z^2-3xy(1-z)=1
=>-3z+3z^2-3xy(1-z)=0
=>-3z(1-z)-3xy(1-z)=0
=>(z-1)(z+xy)=0
=>z=1 và xy=0
=>z=1 và x=0; y=0
A=1+0+0=1
3 tháng 10 2023
Ta có với x,y,z >0 thì:\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\)
Bất đẳng thức Cô si ta có:
\(x\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{x^2+1-x^2}{2}=\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\ge2\\ \Rightarrow\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge2x^3\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\ge2x^3\)
Tương tự: \(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
Từ đó ta có:\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\left(dpcm\right)\)
HV
0
NA
0
DF
2
10 tháng 1 2021
Ta có: \(x^3-y^3=3x-3y\Leftrightarrow x^2+xy+y^2=3\) (Do \(x\neq y\)).
Tương tự: \(y^2+yz+z^2=3;z^2+zx+x^2=3\).
Cộng vế với vế ta có: \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)+xy+yz+zx=9\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2}=9\).
Mặt khác, từ đó ta cũng có: \(\left(x^2+xy+y^2\right)-\left(y^2+yz+z^2\right)=0\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x-z\right)=0\Leftrightarrow x+y+z=0\).
Do đó \(x^2+y^2+z^2=6\left(đpcm\right)\).
Ta có: \(x^3+y^3=3xyz-z^3\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(x+y\right)^3+z^3\right]-\left[3xy\left(x+y\right)+3xyz\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}}\left(\forall x,y,z\right)\Rightarrow Vt\ge0\left(\forall x,y,z\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(x-y\right)^2=\left(y-z\right)^2=\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x=y=z=1\)
Từ đó \(P=673\cdot\left(1^{2020}+1^{2020}+1^{2020}\right)+1=2020\)
Vậy P = 2020