K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 4 2020

Cho xin cái k đúng cái

4 tháng 4 2020

Xét:

\(P-\left(\sqrt{3}-1\right)=\frac{1}{4}\left[2x-\left(\sqrt{3}-1\right)\left(y+z\right)\right]^2+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(y-z\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}-1\)

Còn về dấu "=" xảy ra thì bạn có thể tự làm nhé :D

6 tháng 12 2023

Ta thấy 
72
=
2
3
.
3
2
72=2 
3
 .3 
2
  nên a, b có dạng 
{

=
2

3


=
2

.
3


a=2 
x
 3 
y
 
b=2 
z
 .3 
t
 

  với 

,

,

,


N
x,y,z,t∈N và 



{

,

}
=
3
;



{

,

}
=
2
max{x,z}=3;max{y,t}=2. 

 Theo đề bài, ta có 
2

.
3

+
2

.
3

=
42

x
 .3 
y
 +2 
z
 .3 
t
 =42

 

2


1
.
3


1
+
2


1
3


1
=
7
⇔2 
x−1
 .3 
y−1
 +2 
z−1
 3 
t−1
 =7   (*), do đó 

,

,

,


1
x,y,z,t≥1

 TH1: 



,



x≥z,y≤t. Khi đó 

=
3
,

=
2
x=3,t=2. (*) thành:

 
4.
3


1
+
3.
2


1
=
7
4.3 
y−1
 +3.2 
z−1
 =7 


=

=
1
⇔y=z=1

 Vậy 
{

=
24

=
18

a=24
b=18

  (nhận)

 TH2: KMTQ thì giả sử 



,



x≥z,y≥t. Khi đó 

=
3
,

=
2
x=3,z=2. (*) thành 

 
4.
3


1
+
2.
3


1
=
7
4.3 
y−1
 +2.3 
t−1
 =7, điều này là vô lí.

 Vậy 
(

,

)
=
(
24
,
18
)
(a,b)=(24,18) hay 
(
18
,
24
)
(18,24) là cặp số duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2.\left(yz+1\right)^2.\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=A\)

  Ta có   \(A=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(A\ge3\sqrt[3]{8\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3.2=6\)

\(\Rightarrow P\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{2}\)

18 tháng 2 2020

Làm tiếp bài ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★ chớ hình như bị ngược dấu ó.Do mình gà nên chỉ biết cô si mù mịt thôi ạ

\(3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)

\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}\right)\left(z+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}\right)\left(x+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}\right)}\)

\(\ge3\sqrt[3]{5\sqrt[5]{\frac{y}{256x^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{z}{256y^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{x}{256z^4}}}\)

\(=3\sqrt[3]{125\sqrt[5]{\frac{xyz}{256^3\left(xyz\right)^4}}}\)

\(=15\sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{1}{256^3\left(xyz\right)^3}}}\)

\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^9}}\)

\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\frac{1}{2^9}}}=\frac{15}{2}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

6 tháng 8 2020

Bài này thì AM-GM thôi 

\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)

Sử dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm ta có :

\(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)^2}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}\)

\(=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}\)

\(=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy}{x}+\frac{1}{x}\right)\left(\frac{yz}{y}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{zx}{z}+\frac{1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)

Tiếp tục sử dụng AM-GM cho 2 số không âm ta được :

\(3\sqrt[3]{\left(2\sqrt[2]{y\frac{1}{x}}\right)\left(2\sqrt[2]{z\frac{1}{y}}\right)\left(2\sqrt[2]{x\frac{1}{z}}\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(2\sqrt{\frac{y}{x}}\right)\left(2\sqrt{\frac{z}{y}}\right)\left(2\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}\)

\(=3\sqrt[3]{8\left(\sqrt{\frac{y}{x}}.\sqrt{\frac{z}{y}}.\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}=3\sqrt[3]{8.\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3\sqrt[3]{8}=3.2=6\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min_P=6\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

15 tháng 2 2017

Làm chi mà khó hiểu thế. Làm lại bài của Thắng Nguyễn cho dễ hiểu. 

\(P=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{5}{z}\right)\sqrt{xy+yz+zx}\)

\(\Leftrightarrow P^2=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{5}{z}\right)^2.\left(xy+yz+zx\right)\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{a}{3}\\y=\frac{b}{2}\\z=c\end{cases}}\)thì ta có

\(P^2=\left(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}\right)^2.\left(\frac{ab}{6}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{3}\right)\)

\(=\frac{1}{12}\left(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}\right)^2.\left(2ab+6bc+4ca\right)\)

Ta có: \(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge12.\sqrt[12]{\frac{1}{a^3.b^4.c^5}}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}\right)^2\ge12^2.\sqrt[12]{\frac{1}{a^6.b^8.c^{10}}}\)

Ta lại có: \(2ab+6bc+4ca\ge12.\sqrt[12]{\left(ab\right)^2.\left(bc\right)^6.\left(ca\right)^4}=12.\sqrt[12]{a^6.b^8.c^{10}}\)(tách y hệt cái trên)

Từ đây ta có: \(P^2\ge\frac{1}{12}.12^2.\sqrt[12]{\frac{1}{a^6.b^8.c^{10}}}.12\sqrt[12]{a^6.b^8.c^{10}}=12^2\)

\(\Rightarrow P\ge12\)

Dấu = xảy ra khi a = b = c hay z = 2y = 3x

10 tháng 2 2017

đề? \(\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{5}{z}\right)\sqrt{xy+yz+xz}\)