Question

[Nguyễn Thùy Chi]

Cho x, y thuộc Q và x + y, xy đều là số nguyên. Chứng minh x, y đều là số nguyên

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Dễ thấy trong hai số không thể có 1 số nguyên, 1 số không nguyên. 

Giả sử hai số đều không nguyên. 

Đặt \(x=\dfrac{b}{d},y=\dfrac{c}{e}\) với \(b,c,d,e\inℤ^∗;\left(b,d\right)=1;\left(c,e\right)=1;d,e>0;d,e\ne1\).

Ta có: \(x+y=\dfrac{b}{d}+\dfrac{c}{e}=\dfrac{be+cd}{de}\inℤ\)

suy ra 

\(\left\{{}\begin{matrix}be+cd⋮d\\be+cd⋮e\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}be⋮d\\cd⋮e\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}e⋮d\\d⋮e\end{matrix}\right.\) (vì \(\left(b,d\right)=1;\left(c,e\right)=1\))

do đó \(d=e\).

\(xy=\dfrac{bc}{d^2}\) mà có \(\left(b,d\right)=1,\left(c,d\right)=1\Rightarrow\left(bc,d^2\right)=1\) 

nên \(xy=\dfrac{bc}{d^2}\notinℤ\) (mâu thuẫn).

Suy ra đpcm.