Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho x, y thỏa mãn 0<x<1, 0<y<1 và \(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1\)
Tính: P=\(x+y+\sqrt{x^2-xy+y^2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1, A= y^3(1-y)^2 = 4/9 . y^3 . 9/4 (1-y)^2
= 4/9 .y.y.y . (3/2-3/2.y)^2
=4/9 .y.y.y (3/2-3/2.y)(3/2-3/2.y)
<= 4/9 (y+y+y+3/2-3/2.y+3/2-3/2.y)^5
=4/9 . 243/3125
=108/3125
Đến đó tự giải
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1}\)( Vì xyz=1 nên \(\sqrt{xyz}=1\))
\(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}\right)}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+1+\sqrt{xy}\right)}\)
\(P=\frac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{x}+1+\sqrt{xy}}\)
\(P=\frac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{xyz}}{\sqrt{x}\left(1+\sqrt{yz}+\sqrt{y}\right)}\)
\(P=\frac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}=\frac{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y-2xy}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=1\)
\(\Rightarrow x+y-2xy=xy-x-y+1\)
\(\Rightarrow2\left(x+y\right)-1=3xy\)
Lại có: \(P=x+y+\sqrt{x^2-xy+y^2}\)
\(=x+y+\sqrt{\left(x+y\right)^2-3xy}\)
\(=x+y+\sqrt{\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1}\)
\(=x+y+\sqrt{\left(x+y-1\right)^2}\)
Mặt khác: \(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1\); \(0< x;y< 1\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x-1}< 1\)
\(\Rightarrow x< \frac{1}{2}\)
Tương tự: \(y< \frac{1}{2}\)
=> x+y <1
Do đó P=1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VT=\frac{\sqrt{x}}{x^2+y+2y\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{y}}{y^2+x+2x\sqrt{y}}\le\frac{\sqrt{x}}{2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{y}}{2y\sqrt{x}+2x\sqrt{y}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}=\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)
Có \(2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(VT\le\frac{1}{2}\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x^2=y\\y^2=x\\\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\end{cases}\Leftrightarrow x=y}\)
...