K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

11 tháng 6 2019

Sửa: p > 3

G/s không có ba chữ số nào giống nhau trong 20 số đó. 

Vì các số chỉ có thể từ 0 -> 9 nên mỗi chữ số xuất hiện 2 lần

Khi đó tổng các chữ số là: 2(0 + 1 + ... + 9) = 2.45 = 90 chia hết cho 3

===> p chia hết cho 3 (vô lí) 

Vậy ta có đpcm

AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 3 2018

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử không tồn tại 3 chữ số nào trong $p^n$ giống nhau.

Đặt \(p^n=\overline{a_1a_2...a_{20}}\)

Vì \(0\leq a_1,a_2,...,a_{20}\leq 9\) nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất \(\left[ \frac{20}{10}\right]=2\) số giống nhau.

Kết hợp với điều đã giả sử suy ra $p^n$ là một số gồm $20$ chữ số, trong đó luôn có đôi một hai số bằng nhau và bằng các số trải từ $0$ đến $9$

Khi đó: \(S(p^n)=2(0+1+2+..+9)=90\vdots 3\) trong đó \(S(p^n)\) là tổng các chữ số của $p^n$

Vì \(S(p^n)\vdots 3\Rightarrow p^n\vdots 3\). Điều này hoàn toàn vô lý do \(p>3, p\in\mathbb{P}\)

Do đó giả sử sai. Tức là tồn tại ít nhất 3 số trong 20 chữ số của $p^n$ giống nhau.

2 tháng 3 2020

Giả sử trong 20 chữ số ko có 3 chữ số nào giống nhau

Mà các chữ số chạy từ 0-9

Suy ra ít nhất 1 chữ số xuất hiện 2 lần

\(\Rightarrow\)tổng các chữ số là \(2\left(0+1+2+3+...+8+9\right)=90⋮3\)

suy ra p ko là số ng/tố lớn hơn 3 (mâu thuẫn)

Vậy ĐPCM lun đúng

26 tháng 1 2021

\(^∗\)Xét \(n=2011\)thì \(S\left(2011\right)=2011^2-2011.2011+2010=2010\)(vô lí)

\(^∗\)Xét \(n>2011\)thì \(n-2011>0\)do đó \(S\left(n\right)=n\left(n-2011\right)+2010>n\left(n-2011\right)>n\)(vô lí do \(S\left(n\right)\le n\))

* Xét \(1\le n\le2010\)thì \(\left(n-1\right)\left(n-2010\right)\le0\Leftrightarrow n^2-2011n+2010\le0\)hay \(S\left(n\right)\le0\)(vô lí do \(S\left(n\right)>0\))

Vậy không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn đề bài