Question

[༒༎༊༗༛༚༘༔༐♡◇♧{Anh Tuấn}༲༮༯༳༵༱༰༴༶£¥♡♧...]

Cho ∆ nhọn ABC , các đường cao BK và CL cắt nhau tại H . Một đường thẳng đi qua H cắt AB , AC lần lượt tại P , Q .

Chứng minh rằng HP = HQ \(\Leftrightarrow\)MP = MQ , với M là trung điểm BC 

Answer 1

[Upin & Ipin]

Goi I là trực tâm của  thì I thuộc CH và .    (1)

Điều kiện cần: Từ (1), kết hợp với  suy ra 

suy ra , mà  do đó     (2)

Từ (1) và (2) suy ra 

Vậy, nếu  thì 

Điều kiện đủ:   trên tia đối của tia MQ lấy điểm R sao cho  thì BRCQ là hình bình hành, suy ra ,

kết hợp với  suy ra          (3)

Mặt khác, ta có  nên . Kết hợp với (1) suy ra     (4)

Từ (3) và (4) suy ra PRBI là hbh nên . Mà  do ó  suy ra CQIP là hbh, ta có 

Vậy, nếu  thì 

Kết luận:  khi và chỉ khi . => DPCM

Answer 2

[Nguyễn Tất Đạt]

+) Chứng minh HP = HQ \(\Rightarrow\) MP = MQ:

Gọi J là đối xứng của C qua H. Có ngay \(\Delta\)CQH = \(\Delta\)JPH (c.g.c) => JP // CQ vuông góc BH

Từ đó P là trực tâm của \(\Delta\)BJH. Đồng thời MH là đường trung bình trong \(\Delta\)BCJ (IH // BJ)

Do vậy MH vuông góc HP, mà H là trung điểm PQ nên HM là trung trực của PQ hay MP = MQ (*)

+) Chứng minh MP = MQ \(\Rightarrow\) HP = HQ:

Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A có điểm M nằm trên BC. Khi đó:

MB.MC = AB² - AM² nếu M thuộc đoạn BC; MB.MC = AM² - AB² nếu M nằm ngoài đoạn BC.

Giải bài toán: Gọi S,T thứ tự là hình chiếu của B,C trên PQ. Dễ chứng minh \(\Delta\)SMT cân tại M

Mà P,Q thuộc ST; \(\Delta\)PMQ cân tại M nên \(\Delta\)MPS = \(\Delta\)MQT (c.g.c) => PS = QT (1)

Dễ có HP.PS = PB.PL; HQ.QT = QC.QK  (2). Áp dụng Bổ đề ta có PB.PL = MB² - MP² = MC² - MQ² = QC.QK  (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra HP = HQ (**)

+) Từ (*) và (**) suy ra ĐPCM.