K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
26 tháng 3 2023
Kẻ CG//MN(G thuộc AB), CG cắt AD tại K
=>HI vuông góc CK
=>I là trựctâm của ΔHCK
=>KI vuông góc CH
=>KI//AB
=>KI//BG
=>K là trung điểm của CG
MN//GC
=>MH/GK=HN/KC
mà GK=KC
nên MH=HN
Goi I là trực tâm của thì I thuộc CH và . (1)
Điều kiện cần: Từ (1), kết hợp với suy ra
suy ra , mà do đó (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy, nếu thì
Điều kiện đủ: trên tia đối của tia MQ lấy điểm R sao cho thì BRCQ là hình bình hành, suy ra ,
kết hợp với suy ra (3)
Mặt khác, ta có nên . Kết hợp với (1) suy ra (4)
Từ (3) và (4) suy ra PRBI là hbh nên . Mà do ó suy ra CQIP là hbh, ta có
Vậy, nếu thì
Kết luận: khi và chỉ khi . => DPCM
+) Chứng minh HP = HQ \(\Rightarrow\) MP = MQ:
Gọi J là đối xứng của C qua H. Có ngay \(\Delta\)CQH = \(\Delta\)JPH (c.g.c) => JP // CQ vuông góc BH
Từ đó P là trực tâm của \(\Delta\)BJH. Đồng thời MH là đường trung bình trong \(\Delta\)BCJ (IH // BJ)
Do vậy MH vuông góc HP, mà H là trung điểm PQ nên HM là trung trực của PQ hay MP = MQ (*)
+) Chứng minh MP = MQ \(\Rightarrow\) HP = HQ:
Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A có điểm M nằm trên BC. Khi đó:
MB.MC = AB2 - AM2 nếu M thuộc đoạn BC; MB.MC = AM2 - AB2 nếu M nằm ngoài đoạn BC.
Giải bài toán: Gọi S,T thứ tự là hình chiếu của B,C trên PQ. Dễ chứng minh \(\Delta\)SMT cân tại M
Mà P,Q thuộc ST; \(\Delta\)PMQ cân tại M nên \(\Delta\)MPS = \(\Delta\)MQT (c.g.c) => PS = QT (1)
Dễ có HP.PS = PB.PL; HQ.QT = QC.QK (2). Áp dụng Bổ đề ta có PB.PL = MB2 - MP2 = MC2 - MQ2 = QC.QK (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra HP = HQ (**)
+) Từ (*) và (**) suy ra ĐPCM.