K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
12 tháng 11 2021

Cách làm cơ bản của dạng này:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R\ {0; -1} thỏa mãn f(1) =-2ln2 và\(x\left(x+1\right)f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^... - Hoc24

12 tháng 11 2021

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-ham-so-y-fx-lien-tuc-tren-left02right-thoa-man-cac-dieu-kien-f2-1-va-intlimits2-0fleftxrightdxintlimits2-0leftf.3001074942942 giúp luôn câu này nữa ạ

NV
25 tháng 2 2021

2a. Đề sai, nhìn biểu thức \(\dfrac{f'\left(x\right)}{f'\left(x\right)}dx\) là thấy

2b. Đồ thị hàm số không cắt Ox trên \(\left(0;1\right)\) nên diện tích cần tìm:

\(S=\int\limits^1_0\left(x^4-5x^2+4\right)dx=\dfrac{38}{15}\)

3a. Phương trình (P) theo đoạn chắn:

\(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{-1}+\dfrac{z}{-2}=1\)

3b. Câu này đề sai, đề cho mặt phẳng (Q) rồi thì sao lại còn viết pt mặt phẳng (Q) nữa?

25 tháng 2 2021

sorry thầy em xin sửa lại câu 3 b là

b) trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (Q): 3x-y-2z+1=0.Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và đi qua điểm M(0;0;1)

2 tháng 4 2021

\(f\left(0\right)=-1\Rightarrow f'\left(0\right)+2=0\Leftrightarrow f'\left(0\right)=-2\)

\(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\dfrac{f'\left(x\right)-x.e^{3x}}{2}dx=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0f'\left(x\right)dx-\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0x.e^{3x}dx=\dfrac{1}{2}f\left(x\right)|^1_0-\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0xe^{3x}dx\)

\(I_1=\int xe^{3x}dx\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=\dfrac{1}{3}xe^{3x}-\dfrac{1}{3}\int e^{3x}dx=\dfrac{1}{3}xe^{3x}-\dfrac{1}{9}e^{3x}\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}f\left(1\right)-\dfrac{1}{2}f\left(0\right)-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}xe^{3x}-\dfrac{1}{9}e^{3x}\right)|^1_0\)

Èo, tắc chỗ f(1) rồi, vậy đành phải biến đổi để tìm f(x) luôn vậy, hmm

Thử nhân 2 vế với \(e^{2x}\) xem nào:

\(e^{2x}f'\left(x\right)-2e^{2x}f\left(x\right)=x.e^{5x}\Leftrightarrow\left(e^{2x}.f\left(x\right)\right)'=x.e^{5x}\)

Lay nguyen ham 2 ve:

\(e^{2x}.f\left(x\right)=\int x.e^{5x}dx\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=u\\dv=e^{5x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}dx=du\\v=\dfrac{1}{5}e^{5x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow e^{2x}.f\left(x\right)=\int x.e^{5x}dx=\dfrac{1}{5}x.e^{5x}-\dfrac{1}{5}\int e^{5x}dx=\dfrac{1}{5}xe^{5x}-\dfrac{1}{25}e^{5x}+C\)

\(f\left(0\right)=-1\Leftrightarrow f\left(0\right)=-\dfrac{1}{25}+C=-1\Leftrightarrow C=-\dfrac{24}{25}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{\dfrac{1}{5}xe^{5x}-\dfrac{1}{25}e^{5x}-\dfrac{24}{25}}{e^{2x}}\)

Vậy là xong rồi \(\Rightarrow f\left(1\right)=...\) , thay vô \(I=\dfrac{1}{2}f\left(1\right)-\dfrac{1}{2}.\left(-1\right)-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}xe^{3x}-\dfrac{1}{9}e^{3x}\right)|^1_0\) là được nha :)

NV
2 tháng 4 2021

Nguyên tắc:

\(g\left(x\right).f'\left(x\right)+h\left(x\right).f\left(x\right)=p\left(x\right)\)

Đầu tiên luôn biến đổi để \(f'\left(x\right)\) đứng riêng biệt 1 mình:

\(\Rightarrow f'\left(x\right)+\dfrac{h\left(x\right)}{g\left(x\right)}.f\left(x\right)=\dfrac{p\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) (1)

Cần thêm/bớt, nhân/chia sao cho biến về dạng:

\(\left[u\left(x\right).f\left(x\right)\right]'=q\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow f'\left(x\right).u\left(x\right)+u'\left(x\right).f\left(x\right)=q\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)+\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}.f\left(x\right)=\dfrac{q\left(x\right)}{u\left(x\right)}\)

Chỉ quan tâm vế trái, khi đó ta sẽ thấy hàm đằng trước \(f\left(x\right)\) chính là \(\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}\) 

Đồng nhất \(\Rightarrow\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}=-2\)

Lấy nguyên hàm 2 vế \(\Rightarrow ln\left|u\left(x\right)\right|=-2x\Rightarrow u\left(x\right)=e^{-2x}\)

Do đó, ở bài toán ban đầu ta cần nhân 2 vế của (1) với \(u\left(x\right)=e^{-2x}\) nghĩa là:

\(f'\left(x\right)-2f\left(x\right)=x.e^{3x}\Leftrightarrow e^{-2x}.f'\left(x\right)-2e^{-2x}.f\left(x\right)=x.e^x\)

\(\Leftrightarrow\left[e^{-2x}.f\left(x\right)\right]'=x.e^x\)

Nguyên hàm 2 vế: \(\Rightarrow e^{-2x}.f\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x+C\)

Thay \(x=0\Rightarrow1.f\left(0\right)=-1+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow e^{-2x}.f\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-1\right)e^{3x}\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0\left(x-1\right)e^{3x}dx=...\)

NV
1 tháng 11 2021

Xét \(I=\int\limits^1_0x^2f\left(x\right)dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=x^2dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=\dfrac{1}{3}x^3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}x^3.f\left(x\right)|^1_0-\dfrac{1}{3}\int\limits^1_0x^3.f'\left(x\right)dx=-\dfrac{1}{3}\int\limits^1_0x^3f'\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0x^3f'\left(x\right)dx=-1\)

Lại có: \(\int\limits^1_0x^6.dx=\dfrac{1}{7}\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx+14\int\limits^1_0x^3.f'\left(x\right)dx+49.\int\limits^1_0x^6dx=0\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)+7x^3\right]^2dx=0\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)+7x^3=0\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=-7x^3\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\int-7x^3dx=-\dfrac{7}{4}x^4+C\)

\(f\left(1\right)=0\Rightarrow C=\dfrac{7}{4}\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0\left(-\dfrac{7}{4}x^4+\dfrac{7}{4}\right)dx=...\)

NV
12 tháng 11 2021

Khi gặp dạng này, ý tưởng là sẽ tìm 1 hàm u(x) sao cho:

\(\int\limits^b_a\left[f'\left(x\right)-u\left(x\right)\right]^2dx=0\) (1)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)-u\left(x\right)=0\Rightarrow f'\left(x\right)=u\left(x\right)\)

Khai triển (1), đề cho sẵn \(\left[f'\left(x\right)\right]^2\)  nên đại lượng \(2u\left(x\right).f'\left(x\right)\) và hàm \(u\left(x\right)\) sẽ được suy ra từ việc tích phân từng phần \(\int\limits f\left(x\right)dx\). Cụ thể:

Xét \(I=\dfrac{2}{3}=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx\)  

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.f\left(x\right)|^2_0-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}\) (2)

(Vậy đến đây hàm \(u\left(x\right)\) được xác định là dạng \(u\left(x\right)=k.x\)

Để tìm cụ thể giá trị k:

Từ (1) ta suy luận tiếp:

\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-kx\right]^2dx=0\Leftrightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-2k\int\limits^2_0x.f'\left(x\right)dx+\int\limits^2_0k^2x^2dx=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}-2k.\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}k^2=0\) do \(\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{8}{3}\)

\(\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\) 

\(\Rightarrow u\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\) coi như xong bài toán)

Do đó ta có:

\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)+\dfrac{1}{4}\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{8}{3}=0\)

\(\Rightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x\right]^2dx=0\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x=0\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2+C\)

Thay \(x=2\Rightarrow1=1+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2\)

NV
11 tháng 4 2019

Câu 1:

\(\int\limits^3_0\left(f'\left(x\right)+1\right)\sqrt{x+1}dx=\int\limits^3_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx+\int\limits^3_0\sqrt{x+1}dx\)

\(=\int\limits^3_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx+\frac{14}{3}=\frac{302}{15}\Rightarrow\int\limits^1_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx=\frac{232}{15}\)

Ta có:

\(I=\int\limits^3_0\frac{f\left(x\right)dx}{\sqrt{x+1}}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=\frac{dx}{\sqrt{x+1}}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=2\sqrt{x+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=2f\left(x\right)\sqrt{x+1}|^3_0-2\int\limits^3_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx\)

\(=4f\left(3\right)-2f\left(0\right)-2.\frac{232}{15}\)

\(=2\left(2f\left(3\right)-f\left(0\right)\right)-\frac{464}{15}=36-\frac{464}{15}=\frac{76}{15}\)

NV
11 tháng 4 2019

Câu 2:

\(I_1=\int\limits^3_1\frac{xf'\left(x\right)}{x+1}dx=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\frac{x}{x+1}\\dv=f'\left(x\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}dx\\v=f\left(x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=\frac{xf\left(x\right)}{x+1}|^3_1-\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{3.3}{3+1}-\frac{1.3}{1+1}-\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx=\frac{3}{4}-\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx=0\)

\(\Rightarrow\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx=\frac{3}{4}\)

Ta có:

\(I=\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)+lnx}{\left(x+1\right)^2}dx=\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx+\int\limits^3_1\frac{lnx}{\left(x+1\right)^2}dx=\frac{3}{4}+I_2\)

Xét \(I_2=\int\limits^3_1\frac{lnx}{\left(x+1\right)^2}dx\Rightarrow\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{dx}{x}\\v=\frac{-1}{x+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_2=\frac{-lnx}{x+1}|^3_1+\int\limits^3_1\frac{dx}{x\left(x+1\right)}=-\frac{1}{4}ln3+\int\limits^1_0\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx\)

\(=-\frac{1}{4}ln3+ln\left(\frac{x}{x+1}\right)|^3_1=-\frac{1}{4}ln3+ln\frac{3}{4}-ln\frac{1}{2}=\frac{3}{4}ln3-ln2\)

\(\Rightarrow I=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}ln3-ln2\)

NV
22 tháng 4 2022

\(\int\limits^3_{-1}f\left(\left|x\right|\right)dx=\int\limits^0_{-1}f\left(\left|x\right|\right)dx+\int\limits^1_0f\left(\left|x\right|\right)dx+\int\limits^3_1f\left(\left|x\right|\right)dx\)

\(=\int\limits^0_{-1}f\left(-x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^3_1f\left(x\right)dx\)

\(=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^3_1f\left(x\right)dx\)

\(=3+3+6=12\)

22 tháng 4 2022

https://hoc24.vn/cau-hoi/giup-em-cau-nay-voi-ajaaaaa-em-cam-on-nhieuuu.5912828614332 giúp em thầy ơiiii

NV
2 tháng 3 2023

Đặt \(2x+2=u\Rightarrow2xdx=du\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}du\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=2\\x=2\Rightarrow u=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^6_2f\left(u\right).\dfrac{1}{2}du=\dfrac{1}{2}\int\limits^6_2f\left(u\right)du=\dfrac{1}{2}\int\limits^6_2f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}.6=3\)

21 tháng 3 2021

Đang học Lý mà thấy bài nguyên hàm hay hay nên nhảy vô luôn :b

\(I_1=\int\limits^1_0xf\left(x\right)dx\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=\dfrac{1}{2}x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\int xf\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}x^2f\left(x\right)-\dfrac{1}{2}\int x^2f'\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0xf\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}x^2|^1_0-\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx=\dfrac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=\dfrac{3}{10}\Rightarrow\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx=\dfrac{3}{5}\)

Đoạn này hơi rối xíu, ông để ý kỹ nhé, nhận thấy ta có 2 dữ kiện đã biết, là: \(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=\dfrac{9}{5}and\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx=\dfrac{3}{5}\) có gì đó liên quan đến hằng đẳng thức, nên ta sẽ sử dụng luôn

\(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)+tx^2\right]^2dx=0\)

\(\Leftrightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx+2t\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx+t^2\int\limits^1_0x^4dx=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{5}+\dfrac{6}{5}t+\dfrac{1}{5}t^2=0\)  \(\left(\int\limits^1_0x^4dx=\dfrac{1}{5}x^5|^1_0=\dfrac{1}{5}\right)\)\(\)\(\Leftrightarrow t=-3\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)-3x^2\right]^2dx=0\)

\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3x^2\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^3+C\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0x^3dx=\dfrac{1}{4}x^4|^1_0=\dfrac{1}{4}\)

P/s: Có gì ko hiểu hỏi mình nhé !

21 tháng 3 2021

cái chỗ tx2