LM
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
16 tháng 5 2017
\(P=\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ca}+\frac{b^4}{bc+ab}+\frac{c^4}{ca+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\)
PS: Ai cập nhật câu này thế?
ND
3
7 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT Cosi
\(A=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{2ab}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)
Đến đây bạn tự xử lí phần dấu "="
10 tháng 4 2020
Nhật Quỳnh Cô si lỗi rồi kìa -_-
\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\)\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2}=\frac{4}{4}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=1
Vậy..........................
CA
2
19 tháng 6 2021
\(3a+3b+\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{a+b}{25}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{74\left(a+b\right)}{25}\ge2.\sqrt{\dfrac{a+b}{25}.\dfrac{1}{a+b}}+\dfrac{74}{25}.5=\dfrac{76}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{5}{2}\)
Vậy GTNN của biểu thức là \(\dfrac{76}{5}\)
19 tháng 6 2021
Ta có: 3a + 3b + \(\dfrac{1}{a+b}\) = \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{a+b}{25}+\dfrac{74}{25}\left(a+b\right)\)
Áp dụng BDT Co-si, ta có:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{a+b}{25}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a+b}.\dfrac{a+b}{25}}\)
=> \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{a+b}{25}\ge\dfrac{2}{5}\)
Mà \(\dfrac{74}{25}\left(a+b\right)\ge\dfrac{74}{5}\)
=> \(3\left(a+b\right)+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{76}{5}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=\dfrac{5}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 2 2022
Chắc là \(P=\dfrac{1}{1+2x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+2z}\)
Do \(xyz=1\), đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{b}{a};\dfrac{c}{b};\dfrac{a}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{1+\dfrac{2b}{a}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{2c}{b}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{2a}{c}}=\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{b+2c}+\dfrac{c}{c+2a}\)
\(P=\dfrac{a^2}{a^2+2ab}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 2 2022
Ủa sao giả thiết là a;b;c mà biểu thức lại là x;y;z vậy em?
PM
3
YN
15 tháng 9 2020
\(A=\frac{1}{a}\)\(+\frac{1}{a}\)\(+\frac{1}{a}\)\(+\frac{1}{a}\)\(+\frac{1}{ab}\)\(\ge\frac{25}{4a+ab}\)\(=\frac{25}{a\left(b+4\right)}\)\(\ge\frac{25}{\frac{1}{4}\left(a+b+4\right)^2}\)\(=1\)
\(A_{min=1}\)\(khi\){ a = 5
b = 1
PN
7 tháng 4 2016
I'm gone!
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM lần lượt cho ba số dương \(a,b,c\) và ba phân thức \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) không âm, ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) \(\left(1\right)\)
và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\) \(\left(2\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right)\) với \(\left(2\right)\), ta được: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\)
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) là \(9\).
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{1007}{3}\) (bạn cần trình bày rõ kết quả này để ghi điểm tối đa: kết hợp với gt)
PN
7 tháng 4 2016
I'm gone!
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM từng lượt cho ba số dương \(a,b,c\) và ba phân thức \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) không âm, ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) \(\left(1\right)\)
và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\) \(\left(2\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right)\) với \(\left(2\right)\), ta được: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\)
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) là \(9\).
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{1007}{3}\) (bạn cần trình bày rõ kết quả này để ghi điểm tối đa: kết hợp với gt)
Ta có: \(a+b=1\Rightarrow a=1-b\)
\(M=a^3+b^3\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(=a^2-ab+b^2\)
\(=\left(1-b\right)^2-\left(1-b\right).b+b^2\)
\(=1-2b+b^2-b+b^2+b^2\)
\(=3b^2-3b+1\)
\(=3\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}\)
\(=3\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\forall b\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(b-\frac{1}{2}=0\Rightarrow b=\frac{1}{2}\Rightarrow a=1-b=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của M là \(\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Chúc bạn học tốt