Question

[Cao Hiếu Hoàn]

Cho đường tròn (O; R) và điểm a nằm ngoài đường tròn (sao cho OA> 2R). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). Vẽ đường kính CE của đường tròn (O), AE cắt (O) tại điểm thứ hai là F.

a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp và OA vuông góc với BC tại H

b) Chứng minh: AB2= AE. AF và FHOE nội tiếp

c) AO kéo dài cắt (O) tại K ( điểm O nằm giứa A và K ), vẽ BM vuông góc CK (M thuộc CK),FK cắt BM tại N. Chứng minh N là trung điểm của BM

#Toán lớp 9

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔCFE nội tiếp

CE là đường kính

Do đó: ΔCFE vuông tại F

=>CF\(\perp\)FE tại F

=>CF\(\perp\)AE tại F

Xét ΔCAE vuông tại C có CF là đường cao

nên \(AF\cdot AE=AC^2\)

=>\(AF\cdot AE=AB^2\left(3\right)\)

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AF\cdot AE=AH\cdot AO\)

=>\(\dfrac{AF}{AO}=\dfrac{AH}{AE}\)

Xét ΔAFH và ΔAOE có

\(\dfrac{AF}{AO}=\dfrac{AH}{AE}\)

\(\widehat{FAH}\)chung

Do đó: ΔAFH~ΔAOE

=>\(\widehat{AFH}=\widehat{AOE}\)

mà \(\widehat{AFH}+\widehat{EFH}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{EOH}+\widehat{EFH}=180^0\)

=>EOHF là tứ giác nội tiếp

Answer 2

[Cao Hiếu Hoàn]

ai giúp e với ạ :*(