T
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
11 tháng 12 2019
\(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=1-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1-2\left(ab+bc+ca\right)\)
Lại có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow abc\le\frac{ab+bc+ca}{9}\)
Khi đó:
\(M\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=21+9=30\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
21 tháng 5 2022
Ta có BĐT: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=3.3=9\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Phân tích và áp dụng BĐT AM-GM:
\(\dfrac{1+3a}{1+b^2}=\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{3a}{1+b^2}=\left(1-\dfrac{b^2}{1+b^2}\right)+\left(3a-\dfrac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\left(1-\dfrac{b^2}{2b}\right)+\left(3a-\dfrac{3ab^2}{2b}\right)=\left(1-\dfrac{b}{2}\right)+\left(3a-\dfrac{3}{2}ab\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1+3b}{1+c^2}\ge\left(1-\dfrac{c}{2}\right)+\left(3b-\dfrac{3}{2}bc\right)\)
\(\dfrac{1+3c}{1+a^2}\ge\left(1-\dfrac{a}{2}\right)+\left(3c-\dfrac{3}{2}ca\right)\)
Cộng các vế của các BĐT ta được:
\(P\ge3-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)=3+\dfrac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}.3\ge3+\dfrac{5}{2}.3-\dfrac{9}{2}=6\)
\(P=6\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(P_{min}=6\)
PD
0
T
1
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
20 tháng 7 2023
\(P=\dfrac{1}{abc}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{a+b+c}{abc}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\left(1\right)\)
\(\)\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\ge\dfrac{9}{ab+bc+ac}\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow P\ge\dfrac{9}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\dfrac{1}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{17}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{17}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(\Rightarrow P\ge9+\dfrac{17}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)
mà \(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow P\ge9+\dfrac{17}{2.\dfrac{1}{3}}=9+\dfrac{17.3}{2}=\dfrac{18+17.3}{2}=\dfrac{69}{2}\)
\(\Rightarrow Min\left(P\right)=\dfrac{69}{2}\)
T
1 tháng 8 2019
#)Góp ý :
Nói dễ hiểu nhé : vì abc = 1 nên sẽ xảy ra các trường hợp sau :
TH1 : a = b = c = 1
TH2 : a = b = -1 ; c = 1
TH3 : b = c = -1 ; a = 1
TH4 : a = c = -1 ; b = 1
Đó là theo cách hiểu của mình, thế nào cg trúng 1 trong 4 TH trên
1 tháng 8 2019
Sai rồi nhé T.Ps
Lỡ như \(a=\frac{1}{3};b=\frac{1}{3};c=9\) thì sao ?
NN
Cho a,b,c là các số dương và a2 + b2 + c2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= bc/a + ac/b + ab/c
Thanks .
2
28 tháng 2 2018
Ta có:\(P^2=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+2\left(\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}+\frac{ac}{b}.\frac{ab}{c}+\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}\right)\)
\(=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+2\)
Đặt \(A=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}\)
\(\Rightarrow2A=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(2A\ge2\sqrt{\frac{b^2c^2}{a^2}.\frac{a^2c^2}{b^2}}+2\sqrt{\frac{a^2c^2}{b^2}.\frac{a^2b^2}{c^2}}+2\sqrt{\frac{a^2b^2}{c^2}.\frac{b^2c^2}{a^2}}\)
\(=2\sqrt{c^4}+2\sqrt{a^4}+2\sqrt{b^4}=2a^2+2b^2+2c^2=2\)
\(\Rightarrow A\ge1\Rightarrow P^2=A+2\ge1+2=3\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\).Nên GTNN của P là \(\sqrt{3}\) đạt được khi \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
NN
5 tháng 3 2018
Bạn ơi thật ra bạn ko cần dùng Cauchy, dùng BunhiaCopxki phát cuối là đc ^^. Mình giải ra lâu rồi :v