Question

[Diệp Hạ Băng]

Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) . Lấy điểm D trên cung BC không chứa A . Gọi H,I,K theo thứ tự là hình chiếu của D , trên BC ,CA, AB 

Cmr : a) BC/DH =AC/DI + AB /DK

b) H,I,K thẳng hàng

Answer 1

[dac lac Nguyen]

a/ Gọi \(F\in BC/A\widehat{D}B=F\widehat{D}C\)

Xét \(\Delta ADB\)và\(\Delta FDC\)ta có

\(\hept{\begin{cases}A\widehat{D}B=F\widehat{D}C\\B\widehat{A}D=F\widehat{C}D\end{cases}}\)(2 góc n.t chắn cung BD)

\(=>\Delta ADB\)đồng dạng \(\Delta CDF\)

=>\(\frac{AB}{CF}=\frac{DA}{DC}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta DAK\)và \(\Delta DCH\)ta có

\(K\widehat{A}D=H\widehat{C}D\)(2 góc n.t chắn cung BD)

\(A\widehat{K}D=C\widehat{H}D\left(=90^0\right)\)

=>\(\Delta DAK\)đồng dạng \(\Delta DCH\)(g-g)

=>\(\frac{DA}{DC}=\frac{DK}{DH}\left(2\right)\)

(1) và (2) =>  \(\frac{AB}{CF}=\frac{DK}{DH}\)=>\(\frac{AB}{DK}=\frac{CF}{DH}\left(3\right)\)

C/m tương tự => \(\frac{AC}{DI}=\frac{BF}{DH}\left(4\right)\)

(3),(4) => \(\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}=\frac{CF}{DH}+\frac{BF}{DH}=\frac{BC}{DH}\left(đpcm\right)\)

b/ Xét tứ giác BKDH ta có : \(B\widehat{K}D+B\widehat{H}D=180^0\)

=> Tứ giác BKDH n.t => \(K\widehat{B}D=K\widehat{H}D\)

                                Mà   \(K\widehat{B}D=I\widehat{C}D\)( tứ giác ABDC n.t (O))

                                Nên \(K\widehat{H}D=I\widehat{C}D\left(5\right)\)

Xét tứ giác IHDC ta có : \(D\widehat{H}C=D\widehat{IC}\left(=90^0\right)\)

=> Tứ giác IHDC n.t => \(I\widehat{C}D+I\widehat{H}D=180^0\left(6\right)\)

(5),(6) => \(K\widehat{H}D+I\widehat{H}D=180^0\)=> H,I,K thẳng hàng

Đường thẳng simson thôi

Answer 2

[Diệp Hạ Băng]

Mơn bạn nhìu