K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
S
26 tháng 5 2017
2) \(VT=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)+3\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
Xét \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\) (1)
Xét \(3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=6\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
HN
14 tháng 7 2017
a/ \(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
\(=\dfrac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\dfrac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\dfrac{c^4}{c^3+ac^2+ca^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
HN
14 tháng 7 2017
b/ \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}=\dfrac{a^4}{abc}+\dfrac{b^4}{abc}+\dfrac{c^4}{abc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}\)
\(\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}\)
VT
14 tháng 3 2018
ÁP dụng BĐT cô-si, ta có \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\ge\frac{3}{2}\)
Mà \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}\ge\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{2c^2+a^2+b^2}\)
Tương tự, ta có
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ac}\ge2\left(\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2+b^2+c^2}+...\right)\)
Đặt \(\left(a^2+b^2;...\right)=\left(x;y;z\right)\)
Ta có VT\(\ge\frac{3}{2}+2\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)=\frac{3}{2}+2\left(\frac{x^2}{xy+zx}+\frac{y^2}{ỹ+yz}+\frac{z^2}{zx+zy}\right)\)
=> \(VT\ge\frac{3}{2}+2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\)
=> \(A\ge\frac{9}{2}\left(ĐPCM\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c>0
1 tháng 6 2021
b) Áp dụng bđt Holder ta có:
\(\left(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\right)\left(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\right)\left(a^2\left(b+c\right)^2+b^2\left(c+a\right)^2+c^2\left(a+b\right)^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)
Lại có \(a^2\left(b+c\right)^2+b^2\left(c+a\right)^2+c^2\left(a+b\right)^2\le2a^2\left(b^2+c^2\right)+2b^2\left(c^2+a^2\right)+2c^2\left(a^2+b^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}}\).
Ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{\sqrt[4]{27\left(a^4+b^4+c^4\right)}}{2}\le\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}}\Leftrightarrow27\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\).
Áp dụng bđt AM - GM ta có \(27\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)^2\le\left(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\).
Vậy ta có đpcm.
1 tháng 6 2021
a) Câu này cũng tương tự: Áp dụng bđt Holder ta có:
\(\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\).
Đến đây làm tương tự là ok
TH
0
8 tháng 7 2017
Ta có: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{a^5+b^5+c^5+a^3\left(b^2+c^2\right)+b^3\left(a^2+c^2\right)+c^3\left(a^2+b^2\right)}{6}\)
\(=\frac{a^5+b^5+c^5+a^3\left(\left(b+c\right)^2-2bc\right)+b^3\left(\left(c+a\right)^2-2ca\right)+c^3\left(\left(a+b\right)^2-2ab\right)}{6}\)
\(=\frac{a^5+b^5+c^5+a^3\left(a^2-2bc\right)+b^3\left(b^2-2ca\right)+c^3\left(c^2-2ab\right)}{6}\)
\(=\frac{\left(a^5+b^5+c^5\right)-abc\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\)
Ma ta lại có:
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{3\left(a^5+b^5+c^5\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{3\left(a^5+b^5+c^5\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}\)
\(\Leftrightarrow\frac{5\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{18}=\frac{\left(a^5+b^5+c^5\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}=\frac{\left(a^5+b^5+c^5\right)}{5}\) (ĐPCM)
VD
1
VD
25 tháng 4 2021
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\)
\(=\dfrac{a^3+ab^2-ab^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3+bc^2-bc^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3+ca^2-ca^2}{c^2+a^2}\)
\(=\dfrac{a\left(a^2+b^2\right)}{a^2+b^2}+\dfrac{b\left(b^2+c^2\right)}{b^2+c^2}+\dfrac{c\left(c^2+a^2\right)}{c^2+a^2}-\left(\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}+\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}+\dfrac{ca^2}{c^2+a^2}\right)\)\(=a+b+c-\left(\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}+\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}+\dfrac{ca^2}{c^2+a^2}\right)\)\(\ge6-\left(\dfrac{ab^2}{2ab}+\dfrac{bc^2}{2bc}+\dfrac{ca^2}{2ca}\right)=6-\dfrac{a+b+c}{2}=6-\dfrac{6}{2}=3\) (dpcm)Dau = xay ra khi a=b=c=2
LT
0