K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 12 2021

Ta có: \(A=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+\dfrac{6}{a^2+b^2}+3ab\)

               \(=2\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{6}{a^2+b^2}+ab\)

               \(=\left[\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{6}{a^2+b^2}\right]+\dfrac{a^2+b^2}{2}+ab\)

               \(\ge2\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right).\dfrac{6}{a^2+b^2}}+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=2.3+\dfrac{2^2}{2}=8\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ a=b=1

NV
27 tháng 12 2020

Bạn tham khảo:

Cho hai số thực a;b thay đổi thỏa mãn điều kiện \(a b\ge1\) và \(a>0\) Tìm GTNN của \(A=\frac{8a^2 b}{4a} b^2\) - Hoc24

NV
14 tháng 5 2021

\(P=a^2-2a+b^2-2b+c^2-2c+3\)

\(P=\left(a^2+\dfrac{9}{4}\right)+\left(b^2+4\right)+\left(c^2+\dfrac{25}{4}\right)-2a-2b-2c-\dfrac{19}{2}\)

\(P\ge3a+4b+5c-2a-2b-2c-\dfrac{19}{2}\)

\(P\ge a+2b+3c-\dfrac{19}{2}=13-\dfrac{19}{2}=\dfrac{7}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};2;\dfrac{5}{2}\right)\)

14 tháng 5 2021

Anh ;-; em chưa kịp làm :|

NV
21 tháng 3 2022

Đặt \(\left(a;2b;3c\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=3\)

\(Q=\dfrac{x+1}{1+y^2}+\dfrac{y+1}{1+z^2}+\dfrac{z+1}{1+x^2}\)

Ta có:

\(\dfrac{x+1}{1+y^2}=x+1-\dfrac{\left(x+1\right)y^2}{1+y^2}\ge x+1-\dfrac{\left(x+1\right)y^2}{2y}=x+1-\dfrac{\left(x+1\right)y}{2}\)

Tương tự:

\(\dfrac{y+1}{1+z^2}\ge y+1-\dfrac{\left(y+1\right)z}{2}\) ; \(\dfrac{z+1}{1+x^2}\ge z+1-\dfrac{\left(z+1\right)x}{2}\)

Cộng vế:

\(Q\ge\dfrac{x+y+z}{2}+3-\dfrac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\)

\(Q\ge\dfrac{x+y+z}{2}+3-\dfrac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\dfrac{3}{2}+3-\dfrac{9}{6}=3\)

\(Q_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}\right)\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 5 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{6ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+a^2+b^2+6ab}+\frac{1}{3ab}\)

\(=\frac{4}{1+(a+b)^2+4ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+1+4.\frac{1}{4}}+\frac{1}{3.\frac{1}{4}}=\frac{8}{3}\)

Vậy $A_{\min}=\frac{8}{3}$ khi $a=b=\frac{1}{2}$