K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VH
1
8 tháng 10 2017
\(\left(a+b+c\right)^2+12=4\left(a+b+c\right)+2ab+2bc+2ca\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+12=4a+4b+4c\\ \Leftrightarrow\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-4b+4\right)+\left(c^2-4c+4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2=0\\b-2=0\\c-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\\c=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=2\left(dpcm\right)\)
DN
1
NM
0
TH
0
ML
9 tháng 8 2015
\(a\text{) }\)Áp dụng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (a, b > 0). Dấu "=" xảy ra khi a = b.
\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=6\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{27}{8}\left(a+b\right)+\frac{27}{8}\left(a+b\right)\right]-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)
\(\ge6.3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^2}.\frac{27}{8}\left(a+b\right).\frac{27}{8}\left(a+b\right)}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)
\(=\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự: \(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{bc}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(b+c\right)\)
\(\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{ca}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(c+a\right)\)
Cộng theo vế ta được
\(A\ge3.\frac{81}{2}-81\left(a+b+c\right)=3.\frac{81}{2}-81=\frac{81}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}.\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{81}{2}.\)
25 tháng 5 2018
Ta có (a-b)²≥0 nên a²+b²≥2ab, tương tự b²+c²≥2bc, c²+a²≥2ca, cộng vế với vế rồi chia 2 2 vế ta có a²+b²+c²≥ab+bc+ca
a, b, c là 3 cạnh tam giác nên a+b>c → c(a+b)>c², tương tự b(a+c)>b², a(b+c)>a², cộng vế với vế ta có 2(ab+bc+ca)>a²+b²+c²
25 tháng 5 2018
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm a^2 + b^2 + c^2 là ra nha bạn
LD
2
PN
10 tháng 1 2016
Ta có: \(ab+bc+ac=0\) và \(abc\ne0\)
nên \(\frac{ab+bc+ac}{abc}=0\), tức là \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
Nếu \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) thì \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=3.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}=\frac{3}{abc}\)
(bạn tham khảo cách chứng minh tại link sau: http://olm.vn/hoi-dap/question/373691.html)
Do đó: \(A=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^3}=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=abc.\frac{3}{abc}=3\)
với \(a,b,c\ne0\)
HB
10 tháng 1 2016
\(ab+bc+ca=0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc=-ac\)
\(\Leftrightarrow a^3b^3+b^3c^3+3ab^2c\left(ab+bc\right)=-a^3c^{3 }\)
\(\Leftrightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^2b^2c^2}=\frac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow A=3\)
14 tháng 3 2016
thay ab+bc+ac=1 vào 1+a^2=ab+bc+ca+a^2=b*(a+c)+a*( a+c)=(a+b)*(a+c)
tương tự 1+b^2=(a+b)*(b+c);1+c^2=(a+c)*(b+c)
mẫu số của A=(a+b)^2*(b+c)^2*(c+a)^2=Tử số của A
=> A=1
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca => 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=0 => (a^2+b^2-ab)+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ac )=0
=> (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 =0 mà (a-b)^2 , (b-c)^2 , (c-a)^2 >=0
=> a-b=b-c=c-a=0 => a=b=c
mà a^2+b^2+c^2=12 => 3a^2=12 => a^2=4 => a=2 hoặc -2
Vậy a=b=c=2 hoặc -2
TL:
Ta có:\(2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a-b=0\) và \(a-c=0\) và\(b-c=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Ta lại có: \(a^2+b^2+c^2=12\Rightarrow3a^2=12\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=2;a=-2\)
Vậy a=b=c=2 hoặc a=b=c=-2