K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 9 2017

CMR là j

4 tháng 9 2017

chứng minh rằng

17 tháng 8 2020

a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:

\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1

17 tháng 8 2020

b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)

Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1

26 tháng 7 2021

Đây nhé! Tích giúp c nhaundefined

26 tháng 7 2021

batngo

NV
18 tháng 12 2020

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng phía so với 0, không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b

\(\Rightarrow ab\ge0\)

Mặt khác do \(c\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-c^2\ge0\\1-c\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2ab\left(1-c\right)+1-c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2ab+1\ge2abc+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+2ab+1\ge a^2b^2+2abc+c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+c\right)^2\le\left(1+ab\right)^2\le\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\) (1)

Từ giả thiết:

\(a^2+b^2+c^2\le1+2abc\Leftrightarrow a^2b^2-2abc+c^2\le1-a^2-b^2+a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-c\right)^2\le\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\) (2)

Nhân vế với vế (1) và (2):

\(\left(ab+c\right)^2\left(ab-c\right)^2\le\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow1+2a^2b^2c^2\ge a^4+b^4+c^4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi 1 số bằng 1 và 2 số bằng nhau

11 tháng 1 2022

Ta có a+b+c=0⇔(a+b+c)2=0⇔a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0a+b+c=0⇔(a+b+c)2=0⇔a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0

+) Nếu a2+b2+c2=2a2+b2+c2=2 thì ab+bc+ac=−22=−1⇔(ab+bc+ac)2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=1ab+bc+ac=−22=−1⇔(ab+bc+ac)2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=1

⇔a2b2+b2c2+c2a2=1⇔a2b2+b2c2+c2a2=1

Ta có : (a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4

⇔a4+b4+c2+2=4⇔a4+b4+c4=2⇔a4+b4+c2+2=4⇔a4+b4+c4=2

+ Nếu a2+b2+c2=1a2+b2+c2=1 làm tương tự

NV
3 tháng 10 2021

\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=-5\)

\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=25\)

\(\Rightarrow\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)=25\)

\(\Rightarrow\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2=25\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2\right]\)

\(=10^2-2.25=50\)

3 tháng 10 2021

Ta có: a+b+c=0 ⇒(a+b+c)2=0

Hay a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0

1+2(ac+bc+ca)=0

ab+bc+ca=\(\dfrac{-1}{2}\)

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=100\left(1\right)\)

\(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+b^2ac+c^2ab+a^bc=a^2b^2+b^2c^2+c^2+a^2+2abc\left(a+b+c\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=25\)

hay \(2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=50\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ⇒a4+b4+c4=50

13 tháng 9 2017

Từ a + b + c =0 => -a = -(b + c) => a2 = (b + c)2

<=> a2 - b2 - c2 = 2bc

<=> (a2 - b2 - c2)2 = 4b2c2

<=> a4 + b4 + c4 - 2a2b2 + 2b2c2 - 2c2a2 = 4b2c2

<=> a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2

<=> 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2

<=> 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2

<=> a4 + b4 + c4 = \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\) (đpcm)