Question

[Nguyễn Đức Nghĩa]

Cho \(A=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

a) Chứng minh rằng: A chia hết cho 3, cho 6

b) Tìm chữ số tận cùng của A.

Answer 1

[Nguyễn Đăng Nhân]

a)\(A=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\Leftrightarrow\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{99}+2^{100}\right)\)

\(\Leftrightarrow6+2^2\left(2+2^2\right)+2^4\left(2+2^2\right)+...+2^{98}\left(2+2^2\right)\)

\(\Leftrightarrow6+2^2\cdot6+2^4\cdot6+...+2^{98}\cdot6\)

\(\Leftrightarrow6\left(1+2^2+2^4+...+2^{98}\right)⋮6\)

Mà tổng đó chia hết cho 6 thì cũng chia hết cho 2 và 3

b) \(A=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(\Leftrightarrow\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+...+\left(2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+2^4\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2+2^2+2^3+2^4\right)\left(1+2^4+...+2^{96}\right)\)

\(\Leftrightarrow6\cdot5\left(1+2^4+...+2^{96}\right)⋮5\)

Mà tổng này chia hết cho cả 2 và 5 hay tổng đó chia hết cho 10 mà số nào chia hết cho 10 cũng tận cùng là chữ số 0

\(\Rightarrow\)Chữ số tận cùng của A là 0