K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

10 tháng 1

Ta có: \(a+b+c=6\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=6^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=36\)

Mà: \(a^2+b^2+c^2=12\left(1\right)\) 

\(\Rightarrow12+2ab+2ac+2bc=36\)

\(\Rightarrow2ab+2ac+2bc=24\)

\(\Rightarrow ab+ac+bc=12\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\) 

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\\\left(a-c\right)^2\ge0\forall a,c\\\left(b-c\right)^2\ge0\forall b,c\end{matrix}\right.\)

Dấu "=" xảy ra: 

\(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\a-c=0\\b-c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{6}{3}=2\) 

\(\Rightarrow P=\left(2-3\right)^{2023}+\left(2-3\right)^{2023}+\left(2-3\right)^{2023}\\ =\left(-1\right)^{2023}+\left(-1\right)^{2023}+\left(-1\right)^{2023}=-1-1-1=-3\)

15 tháng 3 2017

Ta chứng minh điều ngược lại đúng mà đây là BĐT Nesbitt tìm trên mạng đầy cách c/m

23 tháng 3 2017

ừa , thanks bạn nhé ^^

26 tháng 4 2016

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có

(a+b)(b+c)(c+a) >= \(2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\)

dấu = xảy ra <=> a=b=c

vậy (a+b)...=8abc <=> a=b=c

7 tháng 3 2019

\(P=\frac{ab}{6-c}+\frac{bc}{6-a}+\frac{ac}{6-b}\)

\(P=\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\\bc\le\frac{\left(b+c\right)^2}{4}\\ac\le\frac{\left(a+c\right)^2}{4}\end{cases}}\)(bđt AM-GM)

\(\Rightarrow P\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{4\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+c\right)^2}{4\left(a+c\right)}=\frac{a+b+b+c+a+c}{4}=3\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)