Question

[Moon_Kutea]

Cho A =    1    +    1    +    1    + ... +    1    

                 2²         3²        4²                9²

       Chứng minh :    8    > A >    2   

                                  9                 5

Answer 1

[Huỳnh Quang Sang]

\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{8\cdot9}\)

\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}>\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+...+\frac{1}{9\cdot10}\)

Ta có : \(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{8\cdot9}\)

\(=1-\frac{1}{2}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\)

\(=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}(1)\)

\(\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+...+\frac{1}{9\cdot10}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}(2)\)

Từ 1 và 2 => \(\frac{8}{9}>A>\frac{2}{5}\)

\(\Rightarrow(đpcm)\)

Answer 2

[Lê Thị Yến Chi]

Ta có: \(\frac{1}{1.2}>\frac{1}{2^2 }\)

             \(\frac{1}{2.3}>\frac{1}{3^2}\)

             .     .      .

               \(\frac{1}{8.9}>\frac{1}{9^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{8.9}>A\)

\(\Rightarrow1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}>A\)

\(\Rightarrow1-\frac{1}{9}>A\)

\(\Rightarrow\frac{8}{9}>A \left(1\right)\)

Ta lại có: 

\(\frac{1}{2^2}>\frac{1}{2.3}\)

\(\frac{1}{3^2}>\frac{1}{3.4}\)

.     .         .

\(\frac{1}{9^2}>\frac{1}{9.10}\)

\(\Rightarrow A>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{9.10}\)

\(\Rightarrow A>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)

\(\Rightarrow A>\frac{1}{2}-\frac{1}{10}\)

\(\Rightarrow A>\frac{2}{5}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{8}{9}>A>\frac{2}{5}\)

 Chúc bạn hok tốt !!!