Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)=9\Rightarrow x+y+z\ge3\)
\(P=\sum\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}=\sum\frac{x^2}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}}\ge\sum\frac{2x^2}{x^2-x+6}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+6-\left(x+y+z\right)+12}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}-1+1\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y+z\right)-12}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}+1=\frac{\left(x+y+z-3\right)\left(x+y+z+4\right)}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}+1\)
Do \(x+y+z-3\ge0\Rightarrow P\ge1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Cách này đòi hỏi sự kiên nhẫn và kinh nghiệm.
Cần chứng minh:
\({\dfrac {4 \left( xy+zx+yz \right) \left( x+y+z \right) ^{7}}{ 243}}- \left( {x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3} \right) \left( {x}^{3}{y}^{3}+{ x}^{3}{z}^{3}+{y}^{3}{z}^{3} \right) \geqslant 0.\quad(1) \)
Đặt
\(\text{M}=4\,{z}^{7}+ \left( 757\,x+757\,y \right) {z}^{6}+84\, \left( x+y \right) ^{2}{z}^{5}+140\, \left( x+y \right) ^{3}{z}^{4}\\\quad\quad+ \left( 1598 \,{x}^{4}+4205\,{x}^{3}y+4971\,{x}^{2}{y}^{2}+4205\,x{y}^{3}+1598\,{y} ^{4} \right) {z}^{3}\\\quad \quad+84\, \left( x+y \right) ^{5}{z}^{2}+28\, \left( x +y \right) ^{6}z\geqslant 0 \)
Ta có:
\((1)\Leftrightarrow \dfrac{1}{243}xy\cdot M+{\dfrac { \left( x+y \right) \left( {x}^{2}+11\,xy+{y}^{2} \right) \left( 2\,x-y \right) ^{2} \left( x-2\,y \right) ^{2}xy}{243}}\\\quad\quad+{ \dfrac { \left( x+y \right) z \left( x+y+z \right) \left( {x}^{2}+2\,x y+11\,zx+{y}^{2}+11\,yz+{z}^{2} \right) \left( 2\,y-z+2\,x \right) ^{ 2} \left( y-2\,z+x \right) ^{2}}{243}}\geqslant 0. \)
Đẳng thức xảy ra khi $...$
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM với các số dương $x,y,z$ ta có:
$(\sqrt{3}-1)^2x^2+y^2\geq 2(\sqrt{3}-1)xy$
$(\sqrt{3}-1)^2z^2+y^2\geq 2(\sqrt{3}-1)yz$
$2(\sqrt{3}-1)x^2+2(\sqrt{3}-1)z^2\geq 4(\sqrt{3}-1)xz$
Cộng theo vế và thu gọn:
2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(\sqrt{3}-1)(xy+yz+2xz)$
$\Rightarrow P=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+2xz}\geq \sqrt{3}-1$
Vậy $P_{\min}=\sqrt{3}-1$ khi $(\sqrt{3}-1)x=(\sqrt{3}-1)z=y$
Lời giải:
Từ $xy+yz+xz=xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{4x+3y+z}\leq \frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{1}{x+4y+3z}\leq \frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{1}{3x+y+4z}\leq \frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên và thu gọn ta được:
$A\leq \frac{1}{8}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{8}$ khi $x=y=z=3$