G
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NA
0
12 tháng 1 2023
a: (x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3
=(x+y+z-x)(x^2+2xy+y^2-x^2-xy-xz+z^2)-(y+z)(y^2-yz+z^2)
=(x+y)(y+z)(x+z)
b: x^3+y^3+z^3=1
x+y+z=1
=>x+y=1-z
x^3+y^3+z^3=1
=>(x+y)^3+z^3-3xy(x+y)=1
=>(1-z)^3+z^3-3xy(1-z)=1
=>1-3z-3z^2-z^3+z^3-3xy(1-z)=1
=>1-3z+3z^2-3xy(1-z)=1
=>-3z+3z^2-3xy(1-z)=0
=>-3z(1-z)-3xy(1-z)=0
=>(z-1)(z+xy)=0
=>z=1 và xy=0
=>z=1 và x=0; y=0
A=1+0+0=1
3 tháng 10 2023
Ta có với x,y,z >0 thì:\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\)
Bất đẳng thức Cô si ta có:
\(x\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{x^2+1-x^2}{2}=\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\ge2\\ \Rightarrow\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge2x^3\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\ge2x^3\)
Tương tự: \(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
Từ đó ta có:\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\left(dpcm\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 10 2021
Lời giải:
a. Xét hiệu:
$x^3+y^3-xy(x+y)=(x^3-x^2y)-(xy^2-y^3)=x^2(x-y)-y^2(x-y)$
$=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y)\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$
$\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
b.
Áp dụng BĐT phần a vô:
$x^3+y^3\geq xy(x+y)$
$\Rightarrow x^3+y^3+1\geq xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$
$\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:
$\text{VT}\geq \frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
S
21 tháng 2 2020
\(0\le x,y,z\le1\Rightarrow x^{10}\le x;y^6\le y;z^{2016}\le z;0\le xyz\le1\)
CÓ: \(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\ge0\)
=>\(1-xyz+\left(xy+yz+zx\right)-\left(x+y+z\right)\ge0\)
=>\(x+y+z-xy-yz-zx-xyz\le1\)
=>\(x^{10}+y^6+z^{2016}-xy-yz-zx\le1\)
Dấy "=" xảy ra <=> trong 3 số x,y,z có 1 số bằng 0, 2 số bằng 1 hoặc 1 số bằng 1, 2 số bằng 0
CM
12 tháng 10 2017
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Nếu x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 thì:
x + y + z ≥ 0
x - y 2 + y - z 2 + z - x 2 ≥ 0
Suy ra:
x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z ≥ 0 ⇔ x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 x y z
Hay: x 3 + y 3 + z 3 3 ≥ x y z
HV
0
Ta có:A = \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)\)
A = \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz\right)-3xy\left(x+y+z\right)+3xyz\)
A = \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)+3xyz\)
A = \(3\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz+xyz\right)\) (Vì x + y + z = 3)
Mà: \(0\le x,y,z\le1\) => \(\hept{\begin{cases}x-1\le0\\y-1\le0\\z-1\le0\end{cases}}\) => (x - 1)(y - 1)(z - 1) \(\le\)0 => xyz - (xy + yz + xz) + (x + y + z) - 1\(\le\)0
<=> xyz \(\le\)xy + yz + xz + 1 - 3 = xy + yz + xz - 2
Do đó: A \(\le3\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz+xy+yz+xz-2\right)\)
A \(\le3\left(x^2+y^2+z^2-2\right)\le3\cdot\left(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}-2\right)=3\cdot\left(\frac{3^2}{3}-2\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra<=> x = y = z = 1
Vậy Max x3 + y3 + z3 = 3 <=> x = y = z = 1
thanks bạn nhìu nha