K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
1N
cho ba số dương \(0\le a\le b\le c\le1\) CMR \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le2\)
1
25 tháng 5 2022
Vì \(0\le a\le b\le c\le1\) nên:
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge ab+1\ge a+b\Leftrightarrow\dfrac{1}{ab+1}\le\dfrac{1}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{c}{a+b}\left(1\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{a}{b=c}\left(2\right);\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{b}{a+c}\left(3\right)\)
Do đó: \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\left(4\right)\)
Mà: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\le\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(5\right)\)
Từ (4) và (5) suy ra \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\left(đpcm\right)\)
TA
2
R
11 tháng 6 2017
$a(a-1)\leq 0 <=> a^2\leq 0 => \sum a^2 \leq \sum a$
$(a-1)(b-1)(c-1)\leq 0 <=> a+b+c-\sum ab +abc -1 \leq 0$
$<=> \sum a^2 -\sum ab \leq a+b+c-\sum ab \leq 1-abc\leq 1$
^^ Mong olm dịch đ.c tatex mình ghi :v
N
4
S
14 tháng 10 2018
Áp dụng bđt cauchy dạng engel ta có:
\(\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2+1+1+1}\)
\(=\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\le\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)+3}=\frac{9}{2.3+3}=1\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
CN
0
PH
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 7 2020
Để dễ nhìn, đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(VT=\frac{xy}{z^2+2xy}+\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}\)
\(2VT=\frac{2xy}{z^2+2xy}+\frac{2yz}{x^2+2yz}+\frac{2zx}{y^2+2xz}=1-\frac{z^2}{z^2+2xy}+1-\frac{x^2}{x^2+2yz}+1-\frac{y^2}{y^2+2xz}\)
\(2VT=3-\left(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\right)\)
\(2VT\le3-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=3-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=2\)
\(\Rightarrow VT\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)
Ta có: \((1-a)(1-b)(1-c)\geq 0\)
\(\Rightarrow 1-abc+(ab+bc+ca)-(a+b+c)\geq 0\)
\(\Rightarrow 1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)\geq 0\)
\(\Rightarrow (a+b+c)-(ab+bc+ca)\leq 1\)
Vì \(a;b;c\in \left [ 0;1 \right ]\) nên \(b^{2}\leq b;c^{3}\leq c\)
\(\Rightarrow a+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca\leq a+b+c-(ab+bc+ca)\leq 1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(b=c=1\) và \(a=0\)
cho a,b,c thuộc [0;1]. cmr $a+b^{2}+c^{3}+ab+bc+ca \leq 1$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học