Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có anh bảo e bình phương nên e cũng bình phương thử xem ạ:3 ( Hình như cái này là BĐT Mincốpski )
\(BĐT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(a+b\right)^2+\left(b+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge2ac+2bd\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge4a^2c^2+8abcd+4b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2d^2-8abcd+4b^2c^2\ge0\)
Đến đây bí rồi:((((((
4a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\times\frac{y}{x}}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y > 0
Áp dụng bđt Mincopxki:
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)
\(=\sqrt{2\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)
Cách này có được không ạ?Tình cờ nghĩ ra thôi ạ!
Ta chứng minh BĐT phụ: \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+b\right)\) với a,b > 0 (do a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác)
Bình phương hai vế,ta cần c/m \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+2ab\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng).Dấu "=' xảy ra khi a= b.
Do đó \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+b\right)\)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế,ta có đpcm.
3/ \(\hept{\begin{cases}mx+y=3m\\x+my=2m+1\end{cases}}\)
Để PT trên có nghiệm duy nhất
\(\frac{m}{1}\ne\frac{1}{m}\Rightarrow m^2\ne1\Rightarrow m\ne1\)
\(\hept{\begin{cases}mx+y=3m\\x+my=2m+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2x+my=3m^2\\x+my=2m+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2x+my=3m^2\\m^2x-x=3m^2-2m-1\left(#\right)\end{cases}}\)
Từ (#) \(m^2x-x=3m^2-2m-1\)
\(\Leftrightarrow x\left(m^2-1\right)=3m^2-2m-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{3m^2-2m-1}{m^2-1}=\frac{\left(3m+1\right)\left(m-1\right)}{\left(m+1\right)\left(m-1\right)}=\frac{3m+1}{m+1}\)
Có \(mx+y=3m\Leftrightarrow y=3m-mx=3m-\frac{m\left(3m+1\right)}{m+1}=\frac{3m^2+3m-3m^2-m}{m+1}=\frac{2m}{m+1}\)
=> Vậy PT trên có 1 nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\frac{3m+1}{m+1};\frac{2m}{m+1}\right)\)
Và x + y =1
\(\Rightarrow\frac{3m+1}{m+1}+\frac{2m}{m+1}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{5m+1}{m+1}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{5m+1}{m+1}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{5m+1-m-1}{m+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4m}{m+1}=0\)
\(\Rightarrow4m=0\Rightarrow m=0\)
Mik không giỏi dạng này nên có j sai ib ạ >:
\(a,\) Gọi điểm cố định (d) luôn đi qua là \(A\left(x_0;y_0\right)\)
\(\Leftrightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+2\Leftrightarrow mx_0-2x_0+2-y_0=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\2-2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\y_0=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)
Vậy \(A\left(0;2\right)\) là điểm cố định mà (d) lun đi qua
\(b,\) PT giao Ox,Oy: \(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2-m}\Leftrightarrow B\left(\dfrac{2}{2-m};0\right)\Leftrightarrow OB=\dfrac{2}{\left|m-2\right|}\\ x=0\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow C\left(0;2\right)\Leftrightarrow OC=2\)
Gọi H là chân đường cao từ O đến (d) \(\Leftrightarrow OH=1\)
Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=1=\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+1=4\\ \Leftrightarrow m^2-4m+1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{3}\\m=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
\(c,\) Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OC^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)
Đặt \(OH^2=t\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}=\dfrac{m^2-4m+5}{4}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{\left(m-2\right)^2+1}\le\dfrac{4}{0+1}=4\\ \Leftrightarrow OH\le2\\ OH_{max}=2\Leftrightarrow m=2\)
ÁP dụng BĐT bu nhi a cốp xki :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(1^2+1^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+b\right)\)(1)
CM tương tự \(\sqrt{b^2+c^2}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(b+c\right)\left(2\right);\sqrt{c^2+a^2}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(c+a\right)\left(3\right)\)
Cộng vế với vế của (1) (2) vs (3) =>ĐPCM
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =c
Câu 1:
a/ Bình phương 2 vế:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge ac+bd\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)
\(\Leftrightarrow a^2d^2-2ad.bc+b^2c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\)
b/ Giả sử d đi qua điểm cố định \(\left(x_0;y_0\right)\)
\(\Rightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+2\) \(\forall m\)
\(\Rightarrow mx_0-\left(2x_0+y_0-2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\2x_0+y_0-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\y_0=2\end{matrix}\right.\)
Câu 2:
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow\) Tam giác đã cho đều