![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chứng minh rằng nếu a,b,c \(\ge\)0 và abc=1 thì
\(\dfrac{1}{2+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{2+c}\le1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\le1\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+12\le2\left(ab+bc+ca\right)+9\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)
Hiển nhiên đúng do: \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)
Vì abc=1 , ta đặt \(a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}\)
Điều phải chứng minh tương đương với:
\(\dfrac{1}{2+\dfrac{x}{y}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{y}{z}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{z}{x}}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{y}{2y+x}+\dfrac{z}{2z+y}+\dfrac{x}{2x+z}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2y}{2y+x}+\dfrac{2z}{2z+y}+\dfrac{2x}{2x+z}\le2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+y}+\dfrac{z}{2x+z}\ge1\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
\(\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+x}+\dfrac{z}{2x+z}=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2zx}+\dfrac{z^2}{z^2+2xy}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
=> bài toán được chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 <=>a=b=c=1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+a+ab+b=ab+a+b+1\Leftrightarrow ab=1\left(dpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a+b+c = 1 => (a+b+c)^2 = 1 => a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)=1 (1)
Lại có 1/a + 1/b +1/c = 0 => 2(ab+bc+ca) =0 (2) (nhân 2 vế cho 2abc khác 0)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được a^2 + b^2 + c^2=1 (d.p.c.m)