Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a =b = c
b)Tương tự câu a
c)\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)
Tương tự 3 BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge2\)
Nhưng dấu "=" không xảy ra nên ta có đpcm.
d) Chưa nghĩ ra.
Bài 2:
a) Đề thiếu (or sai hay sao ý)
d, Với a,b >0.Áp dụng bđt svac-xơ có:
\(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{a}+\frac{2}{2b}\ge\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}{a+2b}=\frac{5+2\sqrt{6}}{a+2b}>\frac{\sqrt{24}+2\sqrt{6}}{a+2b}\)
=> \(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}>\frac{4\sqrt{6}}{a+2b}\)
3a) ta có \(\frac{a^2}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}>=a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
vì \(a,b>0,a+b>=2\sqrt{ab}nên\frac{ab}{a+b}< =\frac{ab}{2\sqrt{ab}}\)
tương tự \(\frac{b^2}{b+c}=b-\frac{bc}{b+c}>=b-\frac{bc}{2\sqrt{bc}}=b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\)
tương tự \(\frac{c^2}{c+a}=c-\frac{ca}{c+a}>=c-\frac{ca}{2\sqrt{ca}}=c-\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
cộng từng vế BĐT ta được \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ca}}{2}=\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}\left(1\right)\)
giả sử \(\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}>=\frac{a+b+c}{2}\)
<=> \(2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=a+b+c\)
<=> \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>=0\)
(đúng với mọi a,b,c >0) (2)
(1),(2)=> \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
a) Áp dụng bdt cosi schwars ta có
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a+b+b+c+c+d+d+a}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{2}\)
tai sao \(\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)
\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{b}{a+c+d}}\ge\frac{2b}{a+b+c+d}\) ; \(\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}\ge\frac{2c}{a+b+c+d}\); \(\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\ge\frac{2d}{a+b+c+d}\)
Cộng vế với vế: \(VT\ge\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)
Dấu "=" không xảy ra nên \(VT>2\)
Ta sẽ chứng minh: \(\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}+\frac{4x^2}{x^2+1}\ge3x\)
Thật vậy: \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}-x\right)+2\left(\frac{2x^2}{x^2+1}-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left[\frac{\left(x+1\right)^2}{2\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}+2x}-\frac{2x}{x^2+1}\right]\ge0\)
Bây giờ ta quy về chứng minh: \(\frac{\left(x+1\right)^2}{2\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}}\ge\frac{2x}{x^2+1}\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)^2\ge4x\left(\sqrt{\frac{x^4+1}{2}+x}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4+1+2x^3+2x\ge2x^2+4x\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4+1}{2}+x^3+x\ge x^2+2x\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}\)
Bất đẳng thức trên đúng theo AM - GM:
\(\frac{x^4+1}{2}+x^3+x\ge\left(\frac{x^4+1}{2}+x^2\right)+x^2\ge2x\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}+x^2\)
Vậy hoàn tất chứng minh trên nên ta có:
\(\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}+\frac{4a}{a+1}\ge3\sqrt{a}\);\(\sqrt{\frac{b^2+1}{2}}+\frac{4b}{b+1}\ge3\sqrt{b}\)
\(\sqrt{\frac{c^2+1}{2}}+\frac{4c}{c+1}\ge3\sqrt{c}\); \(\sqrt{\frac{d^2+1}{2}}+\frac{4c}{d+1}\ge3\sqrt{d}\)
Cộng từng vế của các bđt trên. ta được: \(\text{Σ}_{cyc}\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}\ge3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)\)
\(-4\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\right)\)\(=3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)-8\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
câu 1 tớ bị nhầm đề là c/a :)