Chứng minh rằng: \(a^2+b^2\ge2.a.b.\)
Áp dụng cho \(A=\left(a+1\right).\left(b+1\right)\)trong đó \(a.b=1\)(trong đó a > 0, b > 0). Chứng minh rằng: \(A\ge4\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
26 tháng 5 2022
Ta có:
\(4\le\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\le\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+1}{2}+\dfrac{b+1}{2}+1\)
\(=a+b+2\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\ge2\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=1\).
DM
9 tháng 5 2017
oaa cha cha :V mới đọc BĐT kiểu dạng này xong :P
Mình sẽ giải theo hai cách nhé :P
C1 : Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng engel :
\(\dfrac{a^2_1+a^2_2+...+a^2_n}{b_1+b_2+...+b_n}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+...+b_n}\) Ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{ab}\left(ĐPCM\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\)
C2 : Áp dụng BĐT Cauchy dạng \(a+b\ge2ab\) ta có :
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(=1+1+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge2+2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=2+2\sqrt{1}=4\left(ĐPCM\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
9 tháng 5 2017
vì a,b>0, áp dụng bđt cô si ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\)
nhân với nhau ta có
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
5 tháng 8 2019
a, Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\left(k\ne0\right)\Rightarrow a=kb;c=kd\)
Thay:
\(\frac{ab}{cd}=\frac{b^2}{d^2}\)
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{b^2\left(k+1\right)^2}{d^2\left(k+1\right)^2}=\frac{b^2}{d^2}\)
=> đpcm
C
2 tháng 5 2017
a) Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
=>\(a^2+b^2-2ab\ge0\left(đpcm\right)\)
b) \(\left(a+b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2+2ab\ge0\)
<=> \(a^2+b^2\ge-2ab\)
<=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) (đpcm)
c) ta có: \(\left(a+1\right)^2=a^2+2a+1\)
\(a\left(a+2\right)=a^2+2a\)
Vậy từ 2 điều trên => \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
d) \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\) (*)
<=>m2 - 2m +1 +n2 - 2n +1 \(\ge0\)
<=> \(\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\) (1)
(1) đúng => (*) đúng
d) Bạn ấy giải rồi ,mình không giải nữa
2 tháng 5 2017
e) Theo BĐT cauchy ta có: \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b}+1\right)+\left(\dfrac{b}{a}+1\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{b}+\dfrac{a+b}{a}\ge4\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\right)\ge4\) (đpcm)
Vậy..........
N
7 tháng 12 2017
Bài 1:
dự đoán dấu = sẽ là \(a^2=b^2=c^2=\dfrac{1}{2}\) nên cứ thế mà chém thôi .
Ta có: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\)
Bunyakovsky:\(\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\)
\(VT=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\left(1+c^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)^2\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
P/s: còn 1 cách khác nữa đó là khai triển sau đó xài schur . Chi tiết trong tệp BĐT schur .pdf
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2020
Lời giải:
Do $a>b$ nên $a-b>0$
Áp dụng BĐT AM-GM với các số dương ta có:
\(a+\frac{1}{b(a-b)^2}=\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+b+\frac{1}{b(a-b)^2}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a-b}{2}.\frac{a-b}{2}.b.\frac{1}{b(a-b)^2}}\)
\(=4\sqrt[4]{\frac{1}{4}}=2\sqrt{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a-b}{2}=b=\frac{1}{b(a-b)^2}\Leftrightarrow a=3\sqrt{\frac{1}{2}}; b=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2-2ab+b^2 >= 0
<=> a^2-2ab+b^2+2ab >= 0 + 2ab
<=> a^2+b^2 >= 2ab
Áp dụng bđt trên thì A >= \(2\sqrt{a.1}+2\sqrt{b.1}\) = \(2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\)>= \(2\sqrt{2\sqrt{a}.2\sqrt{b}}\)
= \(2\sqrt{4.\sqrt{ab}}\)= \(2\sqrt{4.1}\)= 4
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1
Tk mk nha