Cho x,y là số nguyên lẻ. CMR: 9x2+17y2-2 chia hết cho 8
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có \(\left(x+y+z\right)^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-\left(x^3-y^3-z^3\right)\)
\(=\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2+z^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
\(=3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2\)
\(=3\left(x+y\right)\left[xy+\left(x+y\right)z+z^2\right]\)
\(=3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)
\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)
Do x,y,z nguyên và cùng tính chẵn lẻ \(\Rightarrow\left(x+y\right);\left(y+z\right);\left(z+x\right)\) đều là ba số chẵn
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮8\)
mà (3;8)=1 và 3.8=24
\(\Rightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮24\) (đpcm)
Có (x+y+z)3−(x3+y3+z3)(x+y+z)3−(x3+y3+z3)
=[(x+y)+z]3−(x3−y3−z3)=[(x+y)+z]3−(x3−y3−z3)
=(x+y)3+3(x+y)2z+3(x+y)z2+z3−(x3+y3+z3)=(x+y)3+3(x+y)2z+3(x+y)z2+z3−(x3+y3+z3)
=3xy(x+y)+3(x+y)2z+3(x+y)z2=3xy(x+y)+3(x+y)2z+3(x+y)z2
=3(x+y)[xy+(x+y)z+z2]=3(x+y)[xy+(x+y)z+z2]
=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]
=3(x+y)(y+z)(x+z)=3(x+y)(y+z)(x+z)
Do x,y,z nguyên và cùng tính chẵn lẻ ⇒(x+y);(y+z);(z+x)⇒(x+y);(y+z);(z+x) đều là ba số chẵn
⇒(x+y)(y+z)(z+x)⋮8⇒(x+y)(y+z)(z+x)⋮8
mà (3;8)=1 và 3.8=24
⇒3(x+y)(y+z)(z+x)⋮24⇒3(x+y)(y+z)(z+x)⋮24 (đpcm)
a.
Giả sử trong hai số x,y có một số chẵn; vai trò x,y như nhau; không mất tính tổng quát giả sử x chẵn ta có \(\left(xy\right)⋮2\)
Mà \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮xy\) nên \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮2\Rightarrow y^2⋮2\Rightarrow y⋮2\)
Ta có \(xy⋮4\)
Do đó \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮4\).
Mà \(x^2⋮4,y^2⋮4\) nên \(10⋮4\) (Điều này vô lý)
=> Giả sử trên là sai. Vậy x,y là hai số lẻ.
Đặt \(d=ƯCLN\left(x,y\right)\)
Ta có: \(x=da,b=db\) với a, b, d \(\in N\)* và \(ƯCLN\left(a,b\right)=1\)
Có: \(\left(d^2a^2+d^2b^2+10\right)⋮\left(d^2ab\right)\Rightarrow\left(d^2a^2+d^2b^2+10\right)⋮d^2\Rightarrow10⋮d^2\Rightarrow d=1\)
Vậy \(ƯCLN\left(x,y\right)=1\)
b. Theo đề suy ra \(kxy=x^2+y^2+10\)
Vì x,y là số lẻ nên \(\left(x+1\right)\left(x-1\right)⋮4;\left(y+1\right)\left(y-1\right)⋮4\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-1\right)⋮4\\\left(y^2-1\right)⋮4\end{matrix}\right.\)
Có: \(x^2+y^2+10=x^2-1+y^2-1+12\) chia hết cho 4 nên \(kxy⋮4\)
Mà ƯCLN \(\left(xy,4\right)=1\Rightarrow k⋮4\)
Giả sử trong 2 số x,y có một số chia hết cho 3; vai trò của x, y là như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(x⋮3\) . Ta có \(\left(xy\right)⋮3\)
Mà \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮\left(xy\right)\)
Nên \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮3\) \(\Rightarrow\left(y^2+10\right)⋮3\Rightarrow\left(y^2+1\right)⋮3\Rightarrow\) \(y^2\) chia cho 3 dư 2 (Điều này vô lý)
=> Giả sử trên là sai. Vậy x,y là hai số không chia hết cho 3.
\(\RightarrowƯCLN\left(xy,3\right)=1\), \(x^2\) và \(y^2\) chia cho 3 dư 1.
Do đó \(\left(x^2+y^2+10\right)⋮3\) nên \(kxy⋮3\) mà \(ƯCLN\left(xy,3\right)=1\Rightarrow k⋮3,k⋮4\)
\(ƯCLN\left(3,4\right)=1.3.4=12\Rightarrow k⋮12\)
Mà \(k\in N\)* nên \(k\ge12\)
\(x^3-9x^2+26x-24\)
\(=x^3-4x^2-5x^2+20x+6x-24\)
\(=\left(x-4\right)\left(x^2-5x+6\right)\)
\(=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\Rightarrow\left(m^2+2\right)\left(n^2+2\right)⋮mn\Rightarrow m^2n^2+2\left(m^2+n^2+2\right)⋮mn\)
Dễ có \(m^2n^2⋮mn\)nên \(2\left(m^2+n^2+2\right)⋮mn\)
Mà m,n lẻ nên mn lẻ hay \(\left(mn,2\right)=1\)suy ra \(m^2+n^2+2⋮mn\)(*)
Ta có đánh giá rằng số chính phương lẻ thì chia 4 dư 1 (Thật vậy xét các trường hợp 4k + 1 và 4k + 3)
\(\Rightarrow\)m2, n2 chia 4 dư 1 \(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(m^2+n^2+2⋮4mn\)(Do \(\left(mn,4\right)=1\))