Cho (I,r) nội tiếp tam giác ABC vuông tại A và có BC=a.Chứng minh \(\frac{r}{a}\le\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
2 tháng 10 2017
Xét tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp
\(S_{ABC}=S_{AIB}+S_{BIC}+S_{CIA}=\frac{1}{2}.AB.r+\frac{1}{2}.BC.r=\frac{1}{2}\)
\(AB+BC+CA.r=pr\)
P/s: Ko chắc
UI
12 tháng 8 2020
Ap dung cong thuc \(r=\frac{b+c-a}{2}\) (b=AC,c=AB , cai nay ban tu chung minh nhe)
ta co \(\frac{r}{a}=\frac{b+c-a}{2a}\le\frac{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}-a}{2a}=\frac{\sqrt{2.a^2}-a}{2a}=\frac{a\sqrt{2}-a}{2a}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
Dau = xay ra khi b=c hay tam giac ABC vuong can tai A
30 tháng 5 2018
Tìm ba phân số khác nhau biết phân số thứ nhất và phân số thứ hai là 7/8,tổng của phân số thứ hai và phân số thứ ba là 8/7,tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ ba là 8/9
TN
1 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{ax}\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{by}\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{cz}\frac{1}{\sqrt{c}}\)
\(\le\sqrt{\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}=\sqrt{2S_{ABC}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}\)
\(=\sqrt{\frac{abc}{2R}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}=\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{2R}}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}\)
\(AB=c,AC=b\).
\(r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{bc}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{bc}{a+b+c}\).
\(\frac{r}{a}\le\frac{\sqrt{2}-1}{2}\Leftrightarrow\frac{bc}{a\left(a+b+c\right)}\le\frac{\sqrt{2}-1}{2}\Leftrightarrow2bc\le\left(\sqrt{2}-1\right)a\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2bc+a\left(a+b+c\right)\le\sqrt{2}a\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2bc+ab+ac\le\sqrt{2}a\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2+ab+ac\le\sqrt{2}a\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)\le\sqrt{2}a\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\le\sqrt{2}a\)
Bđt cuối đúng do \(b+c\le\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}=\sqrt{2}a\)mà ta biến đổi tương đương nên bđt ban đầu cũng đúng.
Do đó ta có đpcm.