Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn xy+1≤ x. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức...
Đọc tiếp
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn xy+1≤ x. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q=
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 4 2021
\(x\ge xy+1\Rightarrow1\ge y+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{x}}\Rightarrow\dfrac{y}{x}\le\dfrac{1}{4}\)
\(Q^2=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{3x^2-xy+y^2}=\dfrac{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2+2\left(\dfrac{y}{x}\right)+1}{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-\dfrac{y}{x}+3}\)
Đặt \(\dfrac{y}{x}=t\le\dfrac{1}{4}\)
\(Q^2=\dfrac{t^2+2t+1}{t^2-t+3}=\dfrac{t^2+2t+1}{t^2-t+3}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{5}{9}\)
\(Q^2=\dfrac{\left(4t-1\right)\left(t+6\right)}{9\left(t^2-t+3\right)}+\dfrac{5}{9}\le\dfrac{5}{9}\)
\(\Rightarrow Q_{max}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) khi \(t=\dfrac{1}{4}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(2;\dfrac{1}{2}\right)\)
CM
11 tháng 11 2019
Đáp án B
Ta có:
3 x 2 + y 2 − 2 . log 2 x − y = 1 2 1 + log 2 1 − x y ⇔ 3 x 2 + y 2 − 2 . log 2 x − y 2 = log 2 2 − 2 x y
⇔ 3 x 2 + 2 x y + y 2 − 2 + 2 x y . log 2 x − y 2 = log 2 2 − 2 x y ⇔ 3 x − y 2 . log 2 x − y = 3 2 − 2 x y . log 2 2 − 2 x y
Xét hàm số f t = 3 t . log 2 t trên khoảng 0 ; + ∞ , có f ' t = 3 t ln 3. log 2 t + 3 t t . ln 2 > 0 ; ∀ t > 0
Suy ra f t là hàm số đồng biến trên 0 ; + ∞ mà
f x − y 2 = f 2 − 2 x y ⇒ x 2 + y 2 = 2
Khi đó:
M = 2 x 3 + y 3 − 3 x y = 2 x + y x + y 2 − 3 x y − 3 x y ⇔ 2 M = 2 x + y 2 x + y 2 − 3.2 x y − 3.2 x y 2 x + y 2 x + y 2 − 3 x + y 2 + 6 − 3 x + y 2 + 6 = 2 x + y 6 − x + y 2 − 3 x + y 2 + 6 = − 2 a 3 − 3 a 2 + 12 a + 6 ,
Với a = x + y ∈ 0 ; 4
Xét hàm số f a = − 2 a 3 − 3 a 2 + 12 a + 6 trên 0 ; 4 ,
suy ra m ax 0 ; 4 f a = 13.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 13 2
CM
10 tháng 6 2017
Đáp án B
Ta có
3 x 2 + y 2 − 2 . log 2 x − y = 1 2 1 + log 2 1 − x y ⇔ 3 x 2 + y 2 − 2 . log 2 x − y 2 = log 2 2 − 2 x y
⇔ 3 x 2 + 2 x y + y 2 − 2 + 2 x y . log 2 x − y 2 = log 2 2 − 2 x y ⇔ 3 x − y 2 . log 2 x − y = 3 2 − 2 x y . log 2 2 − 2 x y
⇔ 2 M = 2 x + y 2 x + y 2 − 3.2. x y − 3.2 x y = 2 x + y 2 x + y 2 − 3 x + y 2 + 6 − 3 x + y 2 + 6
= 2 x + y 6 − x + y 2 − 3 x + y 2 + 6 = − 2 a 3 − 3 a 2 + 12 a + 6 ,
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 13 2
CM
25 tháng 11 2019
Chọn A.
Phương pháp:
- Biến đổi điều kiện bài cho về dạng f u = f v với u, v là các biểu thức của x, y.
- Xét hàm f t suy ra mối quan hệ của u, v rồi suy ra x, y.
- Đánh giá P theo biến t=x+y bằng cách sử dụng phương pháp hàm số.
Cách giải:
CM
14 tháng 3 2019
Thay y = 4 x vào biểu thức P và biến đổi ta thu được
P = - 9 log 2 2 + 27 log 2 x - 27 .
Do y ≥ 1 nên x ≤ 4 . Suy ra 1 2 ≤ x ≤ 4 . Đặt t = log 2 x , khi đó - 1 ≤ t ≤ 2 .
Xét hàm số f(t0 = - 9 t 2 + 27t - 27; t ∈ - 1 ; 2
Ta có f ' (t) = -18t + 27; f ' (t) = 0 ⇔ t = 3 2
f (-1) = -63; f (2) = -9; f 3 2 = 27 4
Vậy
m a x P = - 27 4 ⇔ x = 2 2 ; y = 2
Đáp án A
Ta có: \(Q=\frac{x+y}{\sqrt{3x^2-xy+y^2}}=\frac{1+\frac{y}{x}}{\sqrt{3-\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^2}}=\frac{1+t}{\sqrt{3-t+t^2}}\left(t=\frac{y}{x}\right)\)
Từ xy+1\(\le x\Rightarrow\frac{y}{x}+\frac{1}{x^2}\le\frac{1}{x}\Rightarrow\frac{y}{x}\le\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}\Rightarrow0\le t\le\frac{1}{4}\)
Vì \(t\le\frac{1}{4}\Rightarrow1+t\le\frac{5}{4};3-t+t^2=\left(\frac{1}{2}-t\right)^2+\frac{11}{4}\ge\frac{45}{16}\)
\(\Rightarrow Q\le\frac{\frac{5}{4}}{\sqrt{\frac{45}{16}}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Dấu đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}t=\frac{1}{4}\\x=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Vậy GTLN của Q là \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)