Cho \(\frac{x}{y}\)= .\(\frac{y}{z}\)= \(\frac{z}{t}\).Chứng minh rằng \(\frac{x^3+y^3+z^3}{y^3+z^3+t^3}\)= \(\frac{x}{t}\).Giúp mik với
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NB
13 tháng 10 2019
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{t}=\frac{x+y+z}{y+z+t}\)
Vì \(\frac{x^3+y^3+z^3}{y^3+z^3+t^3}\Leftrightarrow\left(\frac{x+y+z}{y+z+t}\right)^3\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x+y+z}{y+z+t}\right)^3=\frac{x+y+z}{y+z+t}.\frac{x+y+z}{y+z+t}.\frac{x+y+z}{y+z+t}=\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{t}=\frac{x}{t}\) (đpcm)
KN
12 tháng 9 2020
\(VP=\frac{x}{y+z+t}+\frac{y}{z+t+x}+\frac{z}{t+x+y}+\frac{t}{x+y+z}+\frac{y+z+t}{x}+\frac{z+t+x}{y}+\frac{t+x+y}{z}+\frac{x+y+z}{t}=\left(\frac{x}{y+z+t}+\frac{y+z+t}{9x}\right)+\left(\frac{y}{z+t+x}+\frac{z+t+x}{9y}\right)+\left(\frac{z}{t+x+y}+\frac{t+x+y}{9z}\right)+\left(\frac{t}{x+y+z}+\frac{x+y+z}{9t}\right)+\frac{8}{9}\left(\frac{y+z+t}{x}+\frac{z+t+x}{y}+\frac{t+x+y}{z}+\frac{x+y+z}{t}\right)\)\(\ge8\sqrt[8]{\frac{x}{y+z+t}.\frac{y}{z+t+x}.\frac{z}{t+x+y}.\frac{t}{x+y+z}.\frac{y+z+t}{9x}.\frac{z+t+x}{9y}.\frac{t+x+y}{9z}.\frac{x+y+z}{9t}}+\frac{8}{9}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{t}{x}+\frac{z}{y}+\frac{t}{y}+\frac{x}{y}+\frac{t}{z}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{x}{t}+\frac{y}{t}+\frac{z}{t}\right)\)\(\ge\frac{8}{3}+\frac{8}{9}.12\sqrt[12]{\frac{y}{x}.\frac{z}{x}.\frac{t}{x}.\frac{z}{y}.\frac{t}{y}.\frac{x}{y}.\frac{t}{z}.\frac{x}{z}.\frac{y}{z}.\frac{x}{t}.\frac{y}{t}.\frac{z}{t}}=\frac{8}{3}+\frac{8}{9}.12=\frac{40}{3}=VT\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = t > 0
WR
26 tháng 5 2015
đặt A=x/x+y+z +y/y+z+t +z/z+t+x +t/t+x+y
ta có x/x+y+z>x/x+y+z+t
y/y+z+t>y/x+y+z+t
z/z+t+x>z/z+t+x+y
t/t+x+y>t/x+t+y+z
=>A>x/x+y+t+z +t/x+y+t+z +z/x+y+t+z +y/x+t+y+z=x+y+z+t/x+y+z+t=1>3/4 (1)
*)y/y+z+t<y+x/y+z+t+x
x/x+y+z<x+t/x+y+z+t
z/z+t+x<z+y/x+y+z+t
t/t+x+y<t+z/t+x+y+z
=>A<y+x/x+y+z+t +x+t/x+y+z+t +z+y/x+y+z+t +t+z/x+y+z+t
=y+x+x+t+z+y+t+z/x+y+z+t=2(x+y+z+t)/x+y+z+t=2<5/2 (2)
từ (1) và (2) =>3/4<A<5/2
=>
26 tháng 5 2015
Ta có:
\(\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}
KK
7 tháng 2 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm:
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}3yzt\le y^3+z^3+t^3\\3xtz\le x^3+t^3+z^3\\3xyt\le x^3+y^3+t^3\\3xyz\le x^3+y^3+z^3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x^3+3yzt\le x^3+y^3+z^3+t^3\\y^3+3xtz\le x^3+y^3+z^3+t^3\\z^3+3xyt\le x^3+y^3+z^3+t^3\\t^3+3xyz\le x^3+y^3+z^3+t^3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{x^3}{x^3+3yzt}\ge\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3+t^3}\\\frac{y^3}{y^3+3xtz}\ge\frac{y^3}{x^3+y^3+z^3+t^3}\\\frac{z^3}{z^3+3xyt}\ge\frac{z^3}{x^3+y^3+z^3+t^3}\\\frac{t^3}{t^3+3xyz}\ge\frac{t^3}{x^3+y^3+z^3+t^3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{x^3+3yzt}+\frac{y^3}{y^3+3xtz}+\frac{z^3}{z^3+3xyt}+\frac{t^3}{t^3+3xyz}\ge\frac{x^3+y^3+z^3+t^3}{x^3+y^3+z^3+t^3}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{x^3+3yzt}+\frac{y^3}{y^3+3xtz}+\frac{z^3}{z^3+3xyt}+\frac{t^3}{t^3+3xyz}\ge1\) ( đpcm )
DH
8 tháng 2 2017
Câu trả lời cần bổ sung : dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = t > 0
5 tháng 11 2017
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau do đã có \(y+z+t\ne0\), sau đó nhân dãy đã cho vs nhau. cái kia mũ 3 lên
Q
5 tháng 11 2017
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{t}=\left(\frac{x+y+z}{y+z+t}\right)^3=\frac{x+y+z}{y+z+t}=\frac{x-y+z}{y-z+t}=\frac{x+y-z}{y+z-t}\)
=> \(\frac{x+y+z}{y+z+t}=\frac{x}{t}\) (1)
=> \(\frac{x-y+z}{y-z+t}=\frac{x}{t}\) (2)
=> \(\frac{x+y-z}{y+z-t}=\frac{x}{t}\) (3)
Từ (1);(2) và (3) => đpcm
13 tháng 10 2019
Đặt x/y = y/z = z/t = k
=> x/y . y/z . z/t = x/t k^3 (1)
Có x/y = y/z = z/t = k = x + y + z/y + z + t(t/c dãy tỉ số bằng nhau)
=> x^3/y^3 + y^3/z^3 + z^3/t^3 = x^3 + y^3 + z^3/y^3 + z^3 + t^3 = k^3 (2)
Từ (1) và (2) => x^3 + y^3 + z^3/y^3 + z^3 + t^3 = x/t = k^3
Vậy x^3 + y^3 + z^3/y^3 + z^3 + t^3 = x/t
16 tháng 5 2020
\(\Sigma\frac{x^3}{y^2}=\Sigma\frac{x}{y^2}\left(x-y\right)^2+\frac{\Sigma z\left(x^3-yz^2\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\Sigma\frac{x^2}{y}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{t}=k\)
Ta có : \(k^3=\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{t}=\frac{x}{t}\)(1)
\(k^3=\left(\frac{x}{y}\right)^3=\left(\frac{y}{z}\right)^3=\left(\frac{z}{t}\right)^3=\frac{x^3}{y^3}=\frac{y^3}{z^3}=\frac{z^3}{t^3}=\frac{x^3+y^3+z^3}{y^3+z^3+t^3}\) (2)
Từ (1) ; (2) => \(\frac{x^3+y^3+z^3}{y^3+z^3+t^3}=\frac{x}{t}\) (đpcm)