Cho a,b,c >0 và 6(\(\frac{1}{a^2}\)+ \(\frac{1}{b^2}\)\(\frac{1}{c^2}\)) <= 1+ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
cmr: ∑ \(\frac{1}{10a+b+c}\le\frac{1}{12}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2019
Bài 1.
Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ac}{abc}=0\Rightarrow ab+bc+ac=0\)
\(\Rightarrow ab+bc=-ac\)
Khi đó:
\(D=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3}{a^2b^2c^2}=\frac{(ab+bc)^3-3ab.bc(ab+bc)+(ac)^3}{a^2b^2c^2}\)
\(=\frac{(-ac)^3-3ab.bc(-ac)+(ac)^3}{a^2b^2c^2}=\frac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=3\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2019
Bài 2:
\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow a+b+c=ab+bc+ac=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}{2}=0\)
\(\Rightarrow a=b=c=0\)
Vô lý do theo đề bài $a,b,c\neq 0$
Bạn xem lại đề.
DL
24 tháng 8 2019
Xét \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|\)(đpcm)
S
10 tháng 8 2018
Cho abc=0 thì không chứng minh được, a+b+c=0 là đủ rồi
Ta có: a+b+c=0 => a+b=-c
=>(a+b)2=(-c)2
=>a2+2ab+b2=c2
=>a2+b2-c2=-2ab
Tương tự ta có: b2+c2-a2=-2bc ; c2+a2-b2=-2ca
=>\(\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\) (đpcm)
D
31 tháng 8 2018
Cho \(abc=0\)thì không chứng minh được, \(a+b+c=0\)là đủ rồi.
Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
Tương tự ta có: \(b^2+c^2-a^2=-2ab;c^2+a^2-b^2=-2ca\)
\(\Rightarrow\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)
26 tháng 10 2016
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{abc}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
Từ đó suy ra đpcm
ML
15 tháng 7 2015
Áp dụng bất đẳng thức Min.cop.xki
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\) (Chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Áp dụng:
\(S=\sqrt{a^2+\frac{1}{b+c}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c+a}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a+b}}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\right)^2}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a+b}}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{9}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}\right)^2}\)
Theo Bunhiacopxki: \(\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)=6\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2}\ge\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{6\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{32}+\frac{81}{12\left(a+b+c\right)}+\frac{81}{12\left(a+b+c\right)}+\frac{31}{32}\left(a+b+c\right)^2\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{32}.\frac{81}{12\left(a+b+c\right)}.\frac{81}{12\left(a+b+c\right)}}+\frac{31}{32}.6^2\)
\(=\frac{153}{4}=\left(\frac{3\sqrt{17}}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=2\).
Gọi cái vế trái của BĐT cần c/m là P
Áp dụng BĐT Cô-si dạng \(\frac{1}{a+b+c+x+y+z}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = x = y = z
và \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = x = y = z
Ta có \(\frac{1}{10a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+\left(a+a\right)+\left(a+a\right)+\left(a+a\right)+\left(a+a\right)}\)
\(\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+4.\frac{1}{a+a}\right)\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2}{a}\right]\)
\(=\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{2}{a}\right]\) (1)
Tương tự \(\frac{1}{10b+c+a}\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{2}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+\frac{2}{b}\right]\) (2)
và \(\frac{1}{10c+a+b}\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{2}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{2}{c}\right]\) (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(P\le\frac{1}{36}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)+\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\right]=...=\frac{1}{12}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Kết hợp \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\le\frac{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{6}\) (theo đề bài) và BĐT \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Ta có \(P^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{144}\left[\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\right]\)
\(\le\frac{1}{144}\left(\frac{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{6}+\frac{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\right)\)
Suy ra \(P^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{6}+\frac{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\right)\)
Đặt \(t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) thì \(\frac{1}{144}t^2\le\frac{1}{144}\left(\frac{1+t}{6}+\frac{2t^2}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(2t^2-t-1\le0\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{-1}{2}\le t\le1\)
Do đó \(P^2\le\frac{1}{144}t^2\le\frac{1}{144}.1^2=\frac{1}{144}\) \(\Rightarrow\) \(P\le\frac{1}{12}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=3\)
mk nhầm cái đoạn \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b