Question

[pro]

Giúp mk với ạ. 

1: Cho số thực x đk: \(0\le x\le1\)

Tim min và max của:

\(A=\dfrac{x^2}{2-x^2}+\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\)

2: Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của DC, trên cạnh BC là 2 điểm H và K sao cho BH = HK = KC, AM cắt BD tại N. CMR:

a, \(\Delta ANH\)  vuông cân tại N.

b, AC đi qua trung điểm của NK.

Answer 1

[Akai Haruma]

Câu 1:

$A+2=\frac{2}{2-x^2}+\frac{2}{x^2+1}=2(\frac{1}{2-x^2}+\frac{1}{x^2+1})$

$\geq 2.\frac{4}{2-x^2+x^2+1}=\frac{8}{3}$ (áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz)

$\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}$

Vậy $A_{\min}=\frac{2}{3}$ khi $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Mặt khác:

\(A-1=\frac{2(x^2-1)}{2-x^2}+\frac{1-x^2}{1+x^2}=\frac{3x^2(x^2-1)}{(2-x^2)(x^2+1)}\leq 0\) với mọi $0\leq x\leq 1$

$\Rightarrow A\leq 1$

Vậy $A_{\max}=1$ khi $x=0$ hoặc $x=1$

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

Gọi cạnh hình vuông là $a$

a) Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông sau:

Tam giác $ADM$: $AM=\sqrt{AD^2+DM^2}=\sqrt{a^2+(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$

$AH=\sqrt{AB^2+BH^2}=\sqrt{a^2+(\frac{a}{3})^2}=\frac{\sqrt{10}}{3}a(1)$

$AB\parallel DM$ nên theo định lý Talet:

$\frac{AN}{NM}=\frac{AB}{DM}=2$

$\Rightarrow \frac{AN}{AM}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow AN=\frac{\sqrt{5}}{3}a(2)$

Mặt khác:

$\frac{BN}{DN}=\frac{AB}{DM}=2=\frac{BK}{KC}$ nên $NK\parallel DC$ (theo Talet đảo)

$\Rightarrow NK\perp BC$

$\frac{NK}{DC}=\frac{BK}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow NK=\frac{2}{3}a$

Áp dụng định lý Pitago: $NH=\sqrt{NK^2+KH^2}=\sqrt{(\frac{2}{3}a)^2+(\frac{a}{3})^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}a(3)$

Từ $(1);(2);(3)$ kết hợp Pitago đảo suy ra $ANH$ vuông cân tại $N$.

b) 

Cho $AC$ cắt $NK$ tại $Q$

Theo định lý Talet:

$\frac{NQ}{MC}=\frac{AQ}{AC}=\frac{BK}{BC}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{NQ}{a}=\frac{1}{3}(4)$

$\frac{QK}{a}=\frac{QK}{AB}=\frac{KC}{BC}=\frac{1}{3}(5)$

Từ $(4);(5)\Rightarrow \frac{NQ}{a}=\frac{QK}{a}$

$\Rightarrow NQ=QK$ nên $Q$ là trung điểm $NK$

Do đó ta có đpcm.