tìm giá trị nhỏ nhất \(P=\sqrt{x^2+6x+13}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PL
1
5 tháng 10 2015
\(A=\sqrt{x^2-6x+13}=\sqrt{x^2-6x+9+4}=\sqrt{\left(x-3\right)^2+4}\)
Ta thấy rằng (x-3)2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0, nhỏ nhất là bằng 0
như vậy biểu thức A nhỏ nhất là \(A=\sqrt{4}=2\) Khi x-3 = 0 <=> x = 3
T
1
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 8 2021
\(P=\sqrt{\left(x-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(y-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(z-3\right)^2+4^2}\)
\(P\ge\sqrt{\left(x-3+y-3+z-3\right)^2+\left(4+4+4\right)^2}=6\sqrt{5}\)
\(P_{min}=6\sqrt{5}\) khi \(x=y=z=1\)
Mặt khác với mọi \(x\in\left[0;3\right]\) ta có:
\(\sqrt{x^2-6x+25}\le\dfrac{15-x}{3}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(9\left(x^2-6x+25\right)\le\left(15-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8x\left(3-x\right)\ge0\) luôn đúng
Tương tự: ...
\(\Rightarrow P\le\dfrac{45-\left(x+y+z\right)}{3}=14\)
\(P_{max}=14\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị
DT
1
24 tháng 10 2016
\(M=\sqrt{x^2+6x+9}+\sqrt{x^2-4x+4}\)
\(=\sqrt{x^2+2.x.3+3^2}+\sqrt{x^2-2.2x+2^2}\)
\(=\sqrt{\left(x+3\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}\)
TH1 : \(x< -3;\)có :
\(M=-\left(x+3\right)+\left[-\left(x-2\right)\right]\)
\(=-3-x+2-x\)
\(=-1-2x>-1-2.\left(-3\right)=-1+6=5\)
TH2 : \(-3\le x\le2;\)có :
\(M=\left(x+3\right)+\left[-\left(x-2\right)\right]\)
\(=x+2+2-x=4\)
TH3: \(x>2\)
\(\Rightarrow M=\left(x+3\right)+\left(x-2\right)=2x+1\ge2.2+1=5\)
\(\Rightarrow Min_M=4\)
\(\Leftrightarrow-3\le x\le2\)
Vậy ...
Tại hạ chưa học lớp 9 nên làm cách quèn :)
NC
1
MT
27 tháng 8 2015
\(\sqrt{x^2+4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}\)
\(=\sqrt{\left(x+2\right)^2}+\sqrt{\left(x-3\right)^2}\)
\(=\left|x+2\right|+\left|x-3\right|\)
\(=\left|x+2\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x+2+3-x\right|=5\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\left(x+2\right)\left(3-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+2\ge0\text{ và }3-x\ge0\text{ hoặc }x+2\le0\text{ và }3-x\le0\)
\(\Leftrightarrow x\ge-2\text{ và }x\le3\text{ hoặc }x\le-2\text{ và }x\ge3\left(loại\right)\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 5 tại \(-2\le x\le3\)
NQ
4
CW
27 tháng 11 2016
\(\sqrt{x^2}-6x+13=13-5x\)
Nhưng mà......giá trị nhỏ nhất......có tồn tại ko?
TD
1
ML
11 tháng 11 2015
\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2+9}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}\ge\sqrt{\left(3-x\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+2^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(3-x+x+1\right)^2+\left(3+2\right)^2}\text{ }\left(Mincopxki\right)\)
\(=\sqrt{41}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(y+1=0\text{ và }\frac{3-x}{x+1}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow y=-1;\text{ }x=\frac{3}{5}.\)
Vậy GTNN của A là \(\sqrt{41}\)
LN
1
30 tháng 8 2017
Cần chứng minh bđt : \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2=\left(\left|a+b\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2\left|ab\right|+b^2\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow\left|ab\right|\ge ab\) (luôn đúng)
Từ đó áp dụng ta được :
\(A\ge\sqrt{\left(x^2-6x+2y^2+4y+11\right)+\left(x^2+2x+3y^2+6y+4\right)}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{2x^2-4x+5y^2+10y+15}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{\left(2x^2-4x+2\right)+\left(5y^2+10y+5\right)+8}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{2\left(x-1\right)^2+5\left(y+1\right)^2+8}\ge\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) có gtnn là \(2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1;y=-1\)
Ta có:
\(P=\sqrt{x^2+6x+13}\)
\(=\sqrt{x^2+6x+9+4}\)
\(=\sqrt{\left(x+3\right)^2+4}>=4\)
=>\(P>=4\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=-3
\(P=\sqrt{x^2+6x+13}\Rightarrow P^2=x^2+6x+13=\left(x+3\right)^2+4=0+4=4\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{4}=2.\)
\(\text{Vậy: giá trị nhỏ nhất của P là: 2 dấu bằng xảy ra khi: }\)\(x=-3\)