Question

[Crazy 2002]

Chứng minh:B là số chính phương  B=44...488...89  (có 100 chữ số 4,99 chữ số 8,1 chữ số 9)

Answer 1

[Trâm Lê]

B = 44...488...89

B = 44...4 (100 số 4). 10¹⁰⁰ + 88...8(100 số 8) + 1

B = \(\frac{4}{9}\). 99....9 (100số 9) . 10¹⁰⁰ + \(\frac{8}{9}\).99...9 (100 số 9) + 1

B = \(\frac{4}{9}\)(10¹⁰⁰ - 1).10¹⁰⁰ + \(\frac{8}{9}\)(10¹⁰⁰ - 1) + 1

B = \(\frac{4.10^{200}-4.10^{100}+8.10^{100}-8+9}{9}\)

B = \(\frac{4.10^{200}+4.10^{100}+1}{9}\)

B = \(\frac{\left(2.10^{100}+1\right)^2}{3^2}\)

B = \(\left(\frac{2.10^{100}+1}{3}\right)^2\)(1)

Mà 2.10¹⁰⁰ + 1 có tổng các chữa số là 3 nên chia hết cho 3

=> \(\left(\frac{2.10^{100}+1}{3}\right)\in N\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra B là số chính phương.