K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 2 2018

dự đoán của mouri kogoro

a=b=c=1

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{\left(a^2+1\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(a^2+1\right)}{\left(a^2+1\right)4}}=1.\)

\(\frac{1}{b^2+1}+\frac{\left(B^2+1\right)}{4}\ge1\)

\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{\left(c^2+1\right)}{4}\ge1\)

\(VT+\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{3}{4}\ge3\)

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\left(cosi\right)\)

\(VT+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\ge3\)

\(VT\ge3-\frac{6}{4}=\frac{12-6}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)

dấu = xảy ra khi a=b=c=1

12 tháng 3 2018

mình sắp tốt nghiệp cấp 3 rồi bạn:)

1 tháng 6 2019

Áp dụng bđt AM-GM :

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2+1}{\left(a^2+1\right)\cdot4}}=1\)

Tương tự ta có : 

\(\frac{1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{4}\ge1\)

\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{4}\ge1\)

Cộng từng vế ta có :

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\ge3\)

Áp dụng bđt quen thuộc : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac=3\)

Khi đó : \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge3-\frac{3+3}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

1 tháng 6 2019

bạn làm sai rồi . Khi \(a^2+b^2+c^2\ge3\) bạn chuyển vế thì nó không cùng dấu với bất đẳng thức

Sửa đề:  Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng

\(\frac{1}{ab+b+2}+\frac{1}{bc+c+2}+\frac{1}{ca+a+2}\le\frac{3}{4}\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{ab+b+2}=\frac{1}{ab+1+b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{b+1}\right)\) \(=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab\left(1+c\right)}+\frac{1}{b+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{1+c}+\frac{1}{b+1}\right)\)

Tương tự \(\frac{1}{bc+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)

          \(\frac{1}{ca+a+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

Cộng từng vế các bđt trên ta được

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\right)=\frac{3}{4}\)

Vậy bđt được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

27 tháng 5 2018

Nhầm, bỏ bớt 1 cái 1/3 đi

27 tháng 5 2018

tích đi rồi Pain làm

7 tháng 9 2016

câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m

7 tháng 9 2016

Bạn nói rõ hơn được không???

4 tháng 11 2019

CM BĐT : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge3\left(x^3y+y^3z+z^3x\right)\)   ( * )

\(\frac{a}{ab+1}=\frac{a\left(ab+1\right)-a^2b}{ab+1}=a-\frac{a^2b}{ab+1}\)

TT ....

Áp dụng BĐT ( * ) với x = \(\sqrt{a}\); y = \(\sqrt{b}\); z = \(\sqrt{c}\) vào bài toán, ta có :

\(\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}=a+b+c-\frac{a^2b}{ab+1}-\frac{b^2c}{bc+1}-\frac{c^2a}{ac+1}\)

\(\ge3-\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}-\frac{b^2c}{2\sqrt{bc}}-\frac{c^2a}{2\sqrt{ac}}=3-\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)