Tìm hàm số f thỏa mãn: x*f(y)+y*f(x)=(x+y)*f(x)*f(y) với mọi x,y thuộc R
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
I
2
DM
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 8 2021
Bài 1:
Cho $y=0$ thì: $f(x^3)=xf(x^2)$
Tương tự khi cho $x=0$
$\Rightarrow f(x^3-y^3)=xf(x^2)-yf(y^2)=f(x^3)-f(y^3)$
$\Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$
Cho $x=0$ thì $f(-y)=0-f(y)=-f(y)$
Cho $y\to -y$ thì: $f(x+y)=f(x)-f(-y)=f(x)--f(y)=f(x)+f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$
Đến đây ta có:
$f[(x+1)^3+(x-1)^3]=f(2x^3+6x)=f(2x^3)+f(6x)$
$=2f(x^3)+6f(x)=2xf(x^2)+6f(x)$
$f[(x+1)^3+(x-1)^3]=f[(x+1)^3-(1-x)^3]$
$=(x+1)f((x+1)^2)-(1-x)f((1-x)^2)$
$=(x+1)f(x^2+2x+1)+(x-1)f(x^2-2x+1)$
$=(x+1)[f(x^2)+2f(x)+f(1)]+(x-1)[f(x^2)-2f(x)+f(1)]$
$=2xf(x^2)+4f(x)+2xf(1)$
Do đó:
$2xf(x^2)+6f(x)=2xf(x^2)+4f(x)+2xf(1)$
$2f(x)=2xf(1)$
$f(x)=xf(1)=ax$ với $a=f(1)$
7 tháng 8 2021
\(f\left(x^5+y^5+y\right)=x^3f\left(x^2\right)+y^3f\left(y^2\right)+f\left(y\right)\)
Sửa lại đề câu 2 !!
V
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 4 2021
Lời giải:
Từ $f(1+3x)=2x-f(1-2x)$ thay $x=0$ suy ra $f(1)=1$
$f(1+3x)=2x-f(1-2x)$
$\Rightarrow f'(1+3x)=(2x)'-f'(1-2x)$
$\Leftrightarrow 3f'(1+3x)=2+2f'(1-2x)$. Thay $x=0$ suy ra $f'(1)=2$
PTTT của $f(x)$ tại điểm $x=1$ là:
$y=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2x-1$
P/S: Không biết thật hay đùa nhưng đây là kiến thức Chuyên Toán phục vụ thi HSG QG THPT nhé, không phải kiến thức lớp 9, anh đã đơn giản hóa nhiều chỗ để em hiểu được rồi, có nhiều chỗ em sẽ thắc mắc vì anh sử dụng từ không chuẩn để em hiểu, có gì cố gắng thi chuyên toán cấp 3 em sẽ được học thì bài này sẽ dễ nhé! Chúc em học giỏi!
Xét y=0, ta có: \(xf\left(0\right)=xf\left(x\right)f\left(0\right)\Leftrightarrow xf\left(0\right)\left(1-f\left(x\right)\right)=0\)
Ta thấy: hàm \(f\left(x\right)=1\)thỏa mãn bài toán
Xét y\(\ne0\)Có:
\(xf\left(y\right)+yf\left(x\right)-xf\left(x\right)f\left(y\right)-yf\left(x\right)f\left(y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow xf\left(y\right)\left(1-f\left(x\right)\right)=-yf\left(x\right)\left(1-f\left(y\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow-\frac{x\left(1-f\left(x\right)\right)}{f\left(x\right)}=\frac{y\left(1-f\left(y\right)\right)}{f\left(y\right)}\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=ax+b\)thấy không thỏa mãn
Vậy \(f\left(x\right)=1\)là nghiệm duy nhất