Tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a, đường cao AH. Gọi HE, HF lần lượt là đường cao của các tam giác AHB, AHC.
a) CMR BC.BE.CF = AH^3 và AB^3 : AC^3 = EB : FC
b) Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng EF, diện tích tứ giác AEHF
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
30 tháng 7 2017
Hình thì e tự vẽ nha
a) Dễ dàng c/m đc AEHF là hcn => AH = EF
Áp dụng hệ thức lượng ta có
\(BC^2=\left(BH+CH\right)^2=BH^2+CH^2+2AH.BH\)
\(=BE^2+HE^2+CF^2+HF^2+2AH^2=BE^2+CF^2+2AH^2+\left(HE^2+HF^2\right)\)
\(=BE^2+CF^2+2AH^2+EF^2=BE^2+CF^2+2AH^2+AH^2\)
\(=BE^2+CF^2+3AH^2\)
b) \(\Delta ABH\) có \(BE=\frac{BH^2}{AB}\) \(\Rightarrow BE^2=\frac{BH^4}{AB^2}\)
Tương tự \(CF^2=\frac{CH^4}{AC^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel và BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
Do đó \(BE^2+CF^2=\frac{BH^4}{AB^2}+\frac{CH^4}{AC^2}\ge\frac{\left(BH^2+CH^2\right)^2}{AB^2+AC^2}\ge\frac{\left[\frac{\left(BH+CH\right)^2}{2}\right]^2}{BC^2}=\frac{\left[\frac{BC^2}{2}\right]^2}{BC^2}\)
\(=\frac{\frac{BC^4}{4}}{BC^2}=\frac{BC^2}{4}=\frac{\left(2a\right)^2}{4}=a^2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow BH=CH\) hay H là trung điểm BC.
Như vậy AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến
=> Tam giác ABC vuông cân tại A.
p/s: làm lụi thôi nha, ko bt đúng ko nữa. Đúng thì cho mk 1 k nha
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
5 tháng 7 2016
Ta thấy ngay DE = AH do EHDA là hình chữ nhật.
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x và y, khi đó ta có: \(AH=\frac{xy}{2a}\le\frac{x^2+y^2}{4a}=\frac{4a^2}{4a}=a\)
Vậy độ dài lớn nhất của DE là a, khi tam giác ABC vuông cân tại A.
3 tháng 7 2021
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{HB}{HC}\)(đpcm)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(BD\cdot BA=BH^2\)
\(\Leftrightarrow BD=\dfrac{HB^2}{AB}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(CE\cdot CA=CH^2\)
\(\Leftrightarrow EC=\dfrac{HC^2}{AC}\)
Ta có: \(\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}:\dfrac{HC^2}{AC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{HC^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\left(\dfrac{HB}{HC}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^4\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^4}{AC^4}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)(đpcm)
PA
3 tháng 8 2017
a) Tương tự: https://h.vn/hoi-dap/question/392113.html (1)
EH // AC (cùng _I_ AB)
=> \(\widehat{BHE}=\widehat{HCF}\) (2 góc so le trong)
=> \(\Delta EBH\) ~ \(\Delta FHC\) (g - g)
\(\Rightarrow\frac{EB}{FH}=\frac{EH}{FC}\)
\(\Rightarrow EB\times FC=EH\times FH\)
\(\Rightarrow EB\times FC\times BC=BC\times EH\times FH\) (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
b)
Thay AH = x và BC = 2a vào \(AH^3=BC\times EH\times FH\), ta có:
\(x^3=2a\times EH\times FH\)
\(\Rightarrow FA\times AE=\frac{x^3}{2a}\) (EH = FA và FH = AE)
\(S_{AEF}=\frac{1}{2}\times FA\times AE=\frac{1}{2}\times\frac{x^3}{2a}=\frac{x^3}{4a}\left(\text{đ}v\text{d}t\right)\)
a, áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông AHB,AHC, ABC có các đường cao ta có:\(BE=\frac{BH^2}{AB};CF=\frac{HC^2}{AC};BE.CF=\frac{BH^2.HC^2}{AB.AC}=\frac{AH^4}{AB.AC}\); \(BC=\frac{AB^2}{AH}\)
\(BC.CE.CF=\frac{AB^2}{AH}.\frac{AH^4}{AB.AC}=\frac{AH^3.AB}{AC}=AH^3.\frac{AB}{AC}\).
tam giác này người ta k cho cân => AB/AC không =1 đc => BC.BE.CF khác AH^3
\(EB=\frac{BH^2}{AB};FC=\frac{HC^2}{AC}\Rightarrow\frac{EB}{FC}=\frac{BH^2.AC}{AB.HC^2}\). VỚI TAM GIÁC ABC TA CÓ: \(BH=\frac{AB^2}{BC}\Rightarrow BH^2=\frac{AB^4}{BC}\Leftrightarrow HC^2=\frac{AC^4}{BC}\) => \(\frac{EB}{FC}=\frac{\frac{AB^4}{BC}.AC}{AB.\frac{AC^4}{BC}}=\frac{AB^4.AC.BC}{AB.AC^4.BC}=\frac{AB^3}{AC^3}\)
B) C/M TỨ GIÁC AEHF LÀ HÌNH CHỮ NHẬT => EF=AH(T/C) => EF LỚN NHẤT <=> AH LỚN NHẤT
TỪ A KẺ TRUNG TUYẾN AM. \(AH\le AM\) (ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN) => AH LỚN NHẤT KHI AH=AM <=> AH=1/2 BC=1/2a<=> EF LỚN NHẤT =1/2a (AM LÀ TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC VUÔNG => = 1/2 CẠNH HUYỀN)
TỪ CÁC CÔNG THỨC ĐÃ LẬP Ở TRÊN, S AEHF=AE.AF=\(\frac{AH^2}{AB}.\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB.AC}=\frac{AH^4}{\sqrt{BH.BC.HC.BC}}=\frac{AH^4}{BC\sqrt{AH^2}}=\frac{AH^3}{BC}\)
CHỈ LÀM ĐC ĐẾN ĐÂY THÔI :-/ DÙ SAO CŨNG ĐC ÍT NHIỀU :)