Question

[Nguyễn Nhật Minh]

• Bài1 a) Chứng minh rằng với mọi n \(\in\)N , số A =   \(\frac{2^n+\left(-1\right)^{n+1}}{3}\)  cũng là số tự nhiên.

             b) Chứng minh rằng có duy nhất 1 số tự nhiên n sao cho số A nói trên có thể viết dưới dạng 

  2. 3 ^{m – 1} + ( -1 )^m  với m là số tự nhiên. 

Answer 1

[Le Thi Khanh Huyen]

a)TH1: n chẵn

Đặt \(n=2k\)

Trước hết n chẵn nên n + 1 lẻ

\(\Rightarrow\left(-1\right)^{n+1}=-1\text{≡}-1\left(mod3\right)\)

\(2^2=4\text{≡}1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow\left(2^2\right)^k=2^{2k}\text{≡}1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^n\text{≡}1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^n+\left(-1\right)^{n+1}\text{≡}1+\left(-1\right)\text{≡}0\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2^n+\left(-1\right)^{n+1}}{3}\in N\)

TH2 : n lẻ

Đặt \(n=2k+1\)

Lại có n + 1 chẵn nên \(\left(-1\right)^{n+1}=1\text{≡}-2\left(mod3\right)\)

\(\left(2^2\right)^k.2\text{≡}1.2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^{2k+1}\text{≡}2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^n\text{≡}2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^n+\left(-1\right)^{n+1}\text{≡}2+\left(-2\right)\text{≡}0\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2^n+\left(-1\right)^{n+1}}{3}\in N\)

Vậy ...

Answer 2

[Daigo Toru]

chịu thôi