Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z 1}{1}$ và hai điểm \(A\left(6

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right):\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=48$ và đường thẳng $\left(d\right):\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{\sqrt{2}}$ . Điểm $M\left(a;b;c\right)\left(a0\right)$ nằm trên đường thẳng $\left(d\right)$ sao cho từ $M$ kẻ được 3 tiếp tuyến $MA,MB,MC$ đến mặt cầu $\left(S\right)$ thỏa...

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

15 tháng 4 2022

Phương trình d dạng tham số: $\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=1+2t\\z=-1+t\end{matrix}\right.$

Gọi $M\left(1+2t;1+2t;-1+t\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(2t-5;2t+1;t-1\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(2t+1;2t+1;t+5\right)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P=\sqrt{\left(2t-5\right)^2+\left(2t+1\right)^2+\left(t-1\right)^2}+\sqrt{\left(2t+1\right)^2+\left(2t+1\right)^2+\left(t+5\right)^2}$

$=\sqrt{9t^2-18t+27}+\sqrt{9t^2+18t+27}$

$=\sqrt{\left(3-3t\right)^2+18}+\sqrt{\left(3+3t\right)^2+18}$

$\ge\sqrt{\left(3-3t+3+3t\right)^2+4.18}=6\sqrt{3}$

Đúng(2)

A

AllesKlar

15 tháng 5 2022

0

NK

Nguyễn Kiều Anh

14 tháng 4 2022

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): z-1= 0 và (Q): x+y+z-3 =0. Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt đường thẳng: $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$ và vuông góc với đường thẳng Δ. Phương trình đường thẳng d là?

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

14 tháng 4 2022

Phương trình $d_1$ : $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$ dạng tham số: $\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\t=2-t\\z=3-t\end{matrix}\right.$

Gọi A là giao điểm d1 và (P), tọa độ A thỏa mãn:

$3-t-1=0\Rightarrow t=2\Rightarrow A\left(3;0;1\right)$

$\overrightarrow{n_P}=\left(0;0;1\right)$ ; $\overrightarrow{n_Q}=\left(1;1;1\right)$

$\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(-1;1;0\right)$

$\left[\overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{n_P}\right]=\left(1;1;0\right)$

Phương trình d: $\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=t\\z=1\end{matrix}\right.$

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$ và mặt cầu $\left(S\right):\left(x-4\right)^2+\left(y-5\right)^2+\left(z-7\right)^2=2$. Hai điểm A và B thay đổi trên (S) sao cho tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau. Đường thẳng qua A song song với d cắt (Oxy) tại M, đường thẳng qua B song song với d cắt (Oxy) tại N. Tìm giá trị lớn nhất của...

PL

Phước Lộc

1 tháng 9 2023

Câu hỏi hay

0

WK

Winter Khanh

25 tháng 2 2023

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng d1: $\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{1}$ và d2: $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}$

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;3;0), B(-3;1;4) và đường thẳng $\Delta:\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{\text{z}-2}{3}$ . Xét khối nón (N) có đỉnh có tọa độ nguyên thuộc đường thẳng $\Delta$ và ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB. Khi (N) có thể tích nhỏ nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) có phương trình dạng ax+by+cz +1=0. Giá trị a+b+c...

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

26 tháng 2 2023

$\overrightarrow{u_{d1}}=\left(-1;1;1\right)$ ; $\overrightarrow{u_{d2}}=\left(2;-1;-1\right)$

$\Rightarrow\left[\overrightarrow{u_{d1}};\overrightarrow{u_{d2}}\right]=\left(0;1;-1\right)$

Do (P) song song $d_1;d_2\Rightarrow\left(P\right)$ nhận $\left(0;1;-1\right)$ là 1 vtpt

Phương trình (P) có dạng: $y-z+c=0$

Lấy $A\left(2;0;0\right)\in d_1$ và $B\left(0;1;2\right)\in d_2$

Do (P) cách đều 2 đường thẳng $\Rightarrow d\left(A;\left(P\right)\right)=d\left(B;\left(P\right)\right)$

$\Rightarrow\dfrac{\left|0-0+c\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|1-2+c\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}\Rightarrow\left|c\right|=\left|c-1\right|$

$\Rightarrow c=\dfrac{1}{2}\Rightarrow$ phương trình (P) có dạng:

$y-z+\dfrac{1}{2}=0$

Đúng(3)

LD

Linh Dieu

19 tháng 5 2021

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

20 tháng 5 2021

Mặt cầu tâm $I\left(-1;2;2\right)$ bán kính $R=3$, gọi $r$ là bán kính đường tròn đáy và $h$ là đường cao nón

Thực hiện mặt cắt qua trục khối nón ta được như hình bên dưới:

undefined

Đặt $\widehat{MIH}=x\Rightarrow\widehat{NIK}=180^0-2x$

$r=MH=R.tanx=3tanx$

$IN=\dfrac{IK}{cos\left(180^0-2x\right)}=\dfrac{3}{-cos2x}\Rightarrow h=IN+IH=3-\dfrac{3}{cos2x}$

$V=\dfrac{1}{3}\pi R^2h=9\pi.tan^2x.\left(1-\dfrac{1}{cos2x}\right)=9\pi.tan^2x\left(1-\dfrac{1+tan^2x}{1-tan^2x}\right)$

Đặt $tan^2x=t>0$ và $f\left(t\right)=t\left(1-\dfrac{1+t}{1-t}\right)=\dfrac{2t^2}{t-1}\Rightarrow f'\left(t\right)=\dfrac{2\left(t^2-2t\right)}{\left(t-1\right)^2}=0\Rightarrow t=2$

$f\left(t\right)_{min}=f\left(2\right)\Rightarrow V_{min}$ khi $tan^2x=2\Rightarrow cos2x=\dfrac{1-tan^2x}{1+tan^2x}=-\dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow IN=\dfrac{3}{-cos2x}=9$

Do N thuộc $\Delta$ nên tọa độ có dạng: $N\left(2-t;-1+t;2+3t\right)\Rightarrow\overrightarrow{IN}=\left(3-t;t-3;3t\right)$

$\Rightarrow2\left(t-3\right)^2+9t^2=81\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-\dfrac{21}{11}\left(loại\right)\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow N\left(-1;2;8\right)$

Mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{IN}$ là 1 vtpt và cách I một khoảng bằng $R=3$, bạn tự hoàn thành phần còn lại

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{1}$ và hai điểm $A\left(1;-1;1\right)$, $B\left(4;2;-2\right)$. Gọi Δ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$ sao cho khoảng cách từ điểm $B$ đến Δ là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng Δ là:A. $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{4}$ ...

A

AllesKlar

14 tháng 4 2022

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

14 tháng 4 2022

Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc d có phương trình:

$2\left(x-1\right)+2\left(y+1\right)+1\left(z-1\right)=0$

$\Leftrightarrow2x+2y+z-1=0$

Đường thẳng d' song song d và đi qua B (nên d' vuông góc (P)) có dạng:

$\left\{{}\begin{matrix}x=4+2t\\y=2+2t\\z=-2+t\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ Giao điểm C của d' và (P) thỏa mãn:

$2\left(4+2t\right)+2\left(2+2t\right)-2+t-1=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow C\left(2;0;-3\right)$

$\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(1;1;-4\right)\Rightarrow$ là 1 vtcp của $\Delta\Rightarrow$ D là đáp án đúng

A

AllesKlar

14 tháng 4 2022

Thầy ơi sao con làm cách này lại không được ạ?

undefined

TA

Thụy An

24 tháng 7 2021

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1: $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{2}$và d2: $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-4}{3}$ và mp (P): 2x+2y+2z-5=0. Điểm M(a;b;c) thuộc mp (P) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường thẳng d1 và d2 đạt min. Tính a + 2b +c.

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

25 tháng 7 2021

Bài này cần có 1 điều gì đó đặc biệt trong các đường - mặt để giải được (nếu ko chỉ dựa trên khoảng cách thông thường thì gần như bất lực). Thường khoảng cách dính tới đường vuông góc chung, thử mò dựa trên nó :)

Bây giờ chúng ta đi tìm đường vuông góc chung d3 của d1; d2, và hi vọng rằng giao điểm C của d3 với (P) sẽ là 1 điểm nằm giữa A và B với A và giao của d1 và d3, B là giao của d2 và d3 (nằm giữa chứ ko cần trung điểm), thường ý tưởng của người ra đề sẽ là như vậy. Khi đó điểm M sẽ trùng C. Còn C không nằm giữa A và B mà nằm ngoài thì đầu hàng cho đỡ mất thời gian (khi đó việc tìm cực trị sẽ rất lâu).

Quy pt d1 và d2 về dạng tham số, gọi A là 1 điểm thuộc d1 thì $A\left(t+1;t+2;2t\right)$ và B là 1 điểm thuộc d2 thì $B\left(t'+1;2t'+3;3t'+4\right)$

$\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(t'-t;2t'-t+1;3t'-2t+4\right)$

$\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d1}}=0\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d2}}=0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t'-t+2t'-t+1+2\left(3t'-2t+4\right)=0\\t'-t+2\left(2t'-t+1\right)+3\left(3t'-2t+4\right)=0\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=0\\t'=-1\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(1;2;0\right)\\B\left(0;1;1\right)\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(1;1-1\right)$

Phương trình AB hay d3: $\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+t\\z=-t\end{matrix}\right.$

Giao điểm C của d3 và (P): $2\left(1+t\right)+2\left(2+t\right)-2t-5=0$

$\Rightarrow C\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)$

Ủa, ko chỉ nằm giữa luôn, mà người ta cho hẳn trung điểm cho cẩn thận :)

Vậy $M\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)$

TA

Thụy An

25 tháng 7 2021

Bài giải chi tiết quá ạ :)) Em cảm ơn nhiều ạ :vv

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right)$ có phương trình $x^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-2\right)^2=10$ và và đường thẳng $\Delta$ có phương trình chính tắc là $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng thay đổi chứa $\Delta$. Khi $\left(P\right)\cap\left(S\right)$ theo đường tròn có bán kính nhỏ nhất, hãy viết phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ và tính bán...

TD

Thành Đạt

29 tháng 8 2023

1

M

meme

3 tháng 9 2023

Để tìm phương trình mặt phẳng (P) và tính bán kính đường tròn giao tuyến, ta cần tìm điểm giao giữa mặt cầu (S) và đường thẳng Δ. Đầu tiên, ta thay đổi phương trình đường thẳng Δ từ phương trình chính tắc sang phương trình tham số.

Phương trình tham số của đường thẳng Δ là: x = t y = 1 + t z = 1 + 2t

Tiếp theo, ta thay các giá trị x, y, z vào phương trình mặt cầu (S) để tìm điểm giao: (t)2 + (1 + t + 1)2 + (1 + 2t - 2)2 = 10 t2 + (t + 2)2 + (2t - 1)2 = 10 t2 + t2 + 4t + 4 + 4t2 - 4t + 1 - 10 = 0 6t2 + 4t - 5 = 0

Giải phương trình trên, ta tìm được t = 1/2 và t = -5/6. Thay t vào phương trình tham số của Δ, ta có các điểm giao là: Điểm giao thứ nhất: (1/2, 3/2, 5/2) Điểm giao thứ hai: (-5/6, 1/6, -1/6)

Tiếp theo, ta tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm giao này. Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm: (x - x1)(y2 - y1) - (y - y1)(x2 - x1) = 0

Điểm giao thứ nhất: (1/2, 3/2, 5/2) Điểm giao thứ hai: (-5/6, 1/6, -1/6)

Thay các giá trị vào công thức, ta có: (x - 1/2)((1/6) - (3/2)) - (y - 3/2)((-5/6) - (1/2)) + (z - 5/2)((-1/6) - (3/2)) = 0 -2x + 2y - z + 4 = 0

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: -2x + 2y - z + 4 = 0.

Tiếp theo, để tính bán kính đường tròn giao tuyến, ta tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (P). Khoảng cách này chính bằng bán kính đường tròn giao tuyến.

Đặt điểm A là tâm mặt cầu (x0, y0, z0) = (0, -1, 2). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Thay các giá trị vào công thức, ta có: d = |(0)(-2) + (-1)(2) + (2)(-1) + 4| / sqrt((-2)^2 + 2^2 + (-1)^2) d = 5 / sqrt(9) d = 5/3

Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là 5/3.

Vậy đáp án đúng là: (P): -2x + 2y - z + 4 = 0; r = 5/3

TM

Thụy Miên

20 tháng 5 2017

trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d1: $^{\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{2}}$ , d2: $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{1}$

Đường tahnwgr d đi qua A(5;-3;5) cắt d1, d2 tại B,C. Độ dài BC là:

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

6 tháng 7 2017

Lời giải:

Dễ thấy đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $M(1,-1,0)\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(4,-2,5)$

Khi đó, nếu $(P)$ là mp chứa $d_1,MA$ thì $\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{d_1},\overrightarrow{MA}]=(1,-3,-2)$

$\Rightarrow \text{PTMP}: x-3y-2z-4=0$

Ta thấy $C\in (d_2),C\in (P)\Rightarrow $ dễ dàng tìm được tọa độ điểm $C(-1,-1,-1)$

Lại có $B=AC\cap d_1$. Và PTĐT $AC$: $\frac{x+1}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+1}{3}$

$\Rightarrow B(2,-2,2)$

Do đó $BC=\sqrt{19}$