Cho a, b, c € N* và S = a+b/c + b+c/a + c+a/b
a)Chứng minh S > 5
b) GTNN của S?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 5 2015
a) \(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Tổng của hai phân số dương nghịch đảo bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 2 nên :
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\) ; \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\) ; \(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge2+2+2=6\)
b) \(S\ge6\) nên GTNN của S là 6 ( \(\Leftrightarrow\) a = b =c )
18 tháng 5 2015
a] Ta có : \(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right)\); \(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
\(\Rightarrow S\ge2+2+2=6\)
b] Ta có \(S=6\Leftrightarrow a=b=c\)
GTNN của S =6
T
21 tháng 9 2018
a)
Cách 1: Do \(a,b,c\inℕ^∗\)nên \(a,b,c\ge1\). Do đó:
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)
Cách 2 (không thông dụng lắm, mình tự nghĩ ra)
Dự đoán: \(a=b=c\)
Do đó: \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{2a}{a}+\frac{2a}{a}+\frac{2a}{a}=\frac{a\left(2+2+2\right)}{a}=6\) (do a = b = c nên ta thế b, c = a) (đpcm)
b) Từ kết quả a) ta dễ thấy GTNN của S là 6
NT
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 6 2021
Bài 1:
Đặt \(\underbrace{111....1}_{1009}=t\Rightarrow 9t+1=10^{1009}\)
Ta có:
\(a+b+1=\underbrace{11...11}_{1009}.10^{1009}+\underbrace{11...1}_{1009}+4.\underbrace{11....1}_{1009}+1\)
\(=t(9t+1)+t+4.t+1=9t^2+6t+1=(3t+1)^2\) là scp.
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 6 2021
Bài 2:
Đặt \(\underbrace{111....1}_{n}=t\Rightarrow 9t+1=10^n\)
Ta có:
\(a+b+c+8=\underbrace{111..11}_{n}.10^n+\underbrace{111....1}_{n}+\underbrace{11...1}_{n}.10+1+6.\underbrace{111...1}_{n}+8\)
\(t(9t+1)+t+10t+1+6t+8=9t^2+18t+9\)
\(=(3t+3)^2\) là scp.
Ta có đpcm.
TB
1
HP
11 tháng 5 2016
\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
\(S=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Vì \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2;\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2;\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\) (bn tự c/m nhé)
=>S \(\ge\) 2+2+2=6
=>GTNN của S là 6
BH
9 tháng 8 2019
\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
\(S=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
LÀm tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\\\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\\\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2\end{cases}}\Rightarrowđpcm\)
Vậy GTNN của S =6 khi a=b=c