Question

[Hoàng Thu Trang]

Cho a + b + c \(\ne0\)  thỏa mãn điều kiện: abc = 16 và a³ + b³ + c³ = 48. Tính giá trị của biểu thức P = \(\frac{a+b}{ab}.\frac{b+c}{bc}.\frac{c+a}{ca}\)

Answer 1

[Phước Nguyễn]

Chú ý rằng, với đa thức  \(a^3+b^3+c^3-3abc\)  thì  ta có thể phân tích đa thức trên thành một nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức, khi đó:

 \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)  

                                           \(=\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

                                           \(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

                                           \(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-ab+c^2-3ab\right)\)

                                           \(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

 \(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\)

 Nhận xét:  Nếu  \(a^3+b^3+c^3=3abc\)  thì  \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(^{a+b+c=0}_{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(^{a+b+c=0}_{a=b=c}\)

                 \(------------------\)

Vì  \(abc=16\)  (theo giả thiết) nên \(a,\)  \(b,\)  \(c\ne0\) và  \(3abc=48\)  \(\left(1\right)\) 

Ta có:  \(a^3+b^3+c^3=48\)  \(\left(2\right)\)

Do đó, từ  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\)  suy ra  \(a^3+b^3+c^3=3abc\)  \(\left(=48\right)\)

                                          \(\Leftrightarrow\)  \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

                                          \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)  \(\left(\text{*}\right)\) (theo nhận xét trên) 

Mà  \(a+b+c\ne0\)  nên  từ  \(\left(\text{*}\right)\)  suy ra  \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\), tức  \(a=b=c\)  \(\left(\text{**}\right)\)

Mặt khác, ta cũng có  \(abc=16\)  và  do  \(\left(\text{**}\right)\)  nên  \(a^3=16\)

Khi đó,  biểu thức  \(P\)  sẽ trở thành:

\(P=\frac{\left(a+b\right)}{ab}.\frac{\left(b+c\right)}{bc}.\frac{\left(c+a\right)}{ca}=\frac{2a}{a^2}.\frac{2a}{a^2}.\frac{2a}{a^2}=\frac{8a^3}{a^6}=\frac{8}{a^3}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)  (do  \(a\ne0\))