Cho số phức z thỏa mãn z − 1 z + 3 i = 1 2 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + i + 2 z ¯ − 4 + 7 i
A. 8
B. 10
C. 2 5
D. 4 5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
23 tháng 2 2018
Tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện z - 1 = 2 là đường tròn (C) tâm I(1;0) bán kính R = 2
Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, A(0,-1) là điểm biểu diễn cho số phức -i, B(2;1)là điểm biểu diễn cho số phức 2+i
Đáp án D
CM
3 tháng 1 2019
Đáp án D
Phương pháp: Đưa biểu thức T về dạng biểu thức vector bằng cách tìm các vecto biểu diễn cho các số phức.
Cách giải:
Tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện 
là đường tròn (C) tâm I(1;0) bán kính R=
2
Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, A(0;-1) là điểm biểu diễn cho số phức -i, B(2;1) là điểm biểu diễn cho số phức 2+i
Dễ thấy A,B
∈
C và 
AB là đường kính của đường tròn (C)
vuông tại M
Đặt 
Xét hàm số 
trên 
ta có:
Vậy maxT=4
CM
16 tháng 3 2019
Đặt z = a + bi với a , b ∈ R
Khi đó
z - 2 i z - 2 = a + b - 2 i a - 2 + b i = a + b - 2 i a - 2 - b i a - 2 2 + b 2 = a a - 2 + b b - 2 a - 2 2 + b 2 + a - 2 b - 2 - a b a - 2 2 + b 2
z - 2 i z - 2 là số ảo khi và chỉ khi
a a - 2 + b b - 2 a - 2 2 + b 2 = 0 ⇔ a 2 + b 2 = 2 a + b a - 2 2 + b 2 ≠ 0
Ta có
P = z - 1 + z - i = a - 1 + b i + a + b - 1 i = a - 1 2 + b + a 2 + b - 1 2 = a 2 + b 2 - 2 a + 1 + a 2 + b 2 - 2 b + 1 = 2 a + b - 2 a + 1 + 1 a + b - 2 a + 1 = 1 + 2 b + 1 + 2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 a + b = a 2 + b 2 ≥ 1 2 a + b 2
Suy ra a + b ≤ 4
Do đó P 2 ≤ 2 2 + 2 a + b ≤ 20 ⇔ P ≤ 2 5
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2
Vậy maxP = 2 5 đạt được khi z = 2 + 2i
Đáp án C
CM
14 tháng 3 2018
Chọn A.
Gọi M( x; y) là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy.
Biểu diễn hình học của P là đường thẳng và P = 4x + 2y + 3.
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:
P = 4x + 2y + 3 = 4(x – 3) + 2(y – 4) + 23
Vậy MaxP = 33 
Đáp án B
Đặt z = x + y i x , y ∈ ℝ , khi đó z − 1 z + 3 i = 1 2 ⇔ 2 z − 1 = z + 3 i
⇔ 2 x − 1 2 + y 2 = x 2 + y + 3 2 ⇔ x − 2 2 + y − 3 2 = 20 C
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C), tâm I 2 ; 3 , bán kính R = 2 5
Ta có P = z + i + 2 z ¯ − 4 + 7 i = z + i + 2 z − 4 + 7 i , với A 0 ; − 1 , B 4 ; 7 ⇒ P = M A + 2 M B
Vậy P = M A + 2 M B ≤ 1 2 + 2 2 M A 2 + M B 2 = 5.20 = 10 → P m a x = 10