Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a, b, c, d đều là các số tự nhiên. Biết tổng S = a + b + c + d chia hết cho a, cho b, cho c, cho d. Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 10 2023
1:
Xét ΔCHD có \(\widehat{CHD}+\widehat{HCD}+\widehat{HDC}=180^0\)
=>\(\widehat{HCD}+\widehat{HDC}=180^0-110^0=70^0\)
=>\(\dfrac{1}{2}\left(\widehat{ADC}+\widehat{BCD}\right)=70^0\)
=>\(\widehat{ADC}+\widehat{BCD}=140^0\)
Xét tứ giác ABCD có
\(\widehat{ADC}+\widehat{BCD}+\widehat{DAB}+\widehat{ABC}=360^0\)
=>\(\widehat{DAB}+\widehat{ABC}=220^0\)
mà \(\widehat{DAB}-\widehat{ABC}=40^0\)
nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{220^0-40^0}{2}=90^0\)
=>BA\(\perp\)BC
2:
Xét tứ giác ABCD có
\(\widehat{BAD}+\widehat{ABC}+\widehat{BCD}+\widehat{ADC}=360^0\)
=>\(\widehat{BCD}+\widehat{ADC}=360^0-220^0=140^0\)
=>\(2\cdot\left(\widehat{KCD}+\widehat{KDC}\right)=140^0\)
=>\(\widehat{KCD}+\widehat{KDC}=70^0\)
Xét ΔCKD có
\(\widehat{CKD}+\widehat{KCD}+\widehat{KDC}=180^0\)
=>\(\widehat{CKD}=180^0-70^0=110^0\)
Giả sử tứ giác ABCD có AD = a, AB = b, BC = c, CD = d không có hai cạnh nào bằng nhau. Ta có thể giả sử a < b < c < d.
Ta có a + b + c > BD + c > d.
Do đó a + b + c + d > 2d hay S > 2d (*)
Ta có: S\(⋮\)a => S = m.a (m\(\in\)N) (1)
S\(⋮\)b => S = n.b (n\(\in\)N) (2)
S\(⋮\)c => S = p.d (p\(\in\)N) (3)
S\(⋮\)d => S = q.d (q\(\in\)N) (4) . Từ (4) và (*) suy ra q.d > 2d => q > 2
Vì a < b < c < d (theo giả sử) nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra m > n > p > q > 2
Do đó q\(\ge\)3; p\(\ge\)4; n\(\ge\)5; m\(\ge\)6
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra 1/m = a/S; 1/n = b/S; 1/p = c/S; 1/q = d/S
Ta có: \(\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\ge\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{a+b+c+d}{S}=1\)
hay \(\frac{19}{20}\ge1\)(vô lí)
Vậy tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau (đpcm)