CMR : a4 + a3b + ab3 +b4 > hoặc = 0 với mọi a,b thuộc R
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TG
10 tháng 4 2021
\(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\)
Có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
10 tháng 4 2021
Áp dụng BĐT cosi với 2 số không âm:
`a^4+b^4+b^4+b^4>=4\root4{a^4b^12}=4|ab^3|>=4ab^3`
Hoàn toàn tương tự:
`b^4+a^4+a^4+a^4>=4a^3b`
`=>a^4+b^4+b^4+b^4+b^4+a^4+a^4+a^4>=4ab^3+4a^3b`
`<=>4(a^4+b^4)>=4(ab^3+a^3b)`
`<=>a^4+b^4>=ab^3+a^3b`
KN
4 tháng 10 2017
theo bài ta có:
a + b + c = 0
=> a = -(b + c)
=> a2 = [-(b + c)]2
=> a2 = b2 + 2bc + c2
=> a2 - b2 - c2 = 2bc
=> ( a2 - b2 - c2)2 = (2bc)2
=> a4 + b4 + c4 - 2a2c2 + 2b2c2 - 2a2c2 = 4b2c2
=> a4 + b4 + c4 = 2a2c2 + 2b2c2 + 2a2c2
=> 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2c2 + 2b2c2 + 2a2c2
=> 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2
=> 2(a4 + b4 + c4) = 1
=> a4 + b4 + c4 = \(\dfrac{1}{2}\)
YL
1
27 tháng 5 2022
a:Sửa đề: \(a^2-4ab+4b^2\)
\(=a^2-2\cdot a\cdot2b+4b^2\)
\(=\left(a-2b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b: \(-2a^2+a-1\)
\(=-2\left(a^2-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}\right)\)
\(=-2\left(a^2-2\cdot a\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{7}{16}\right)\)
\(=-2\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{7}{8}\le-\dfrac{7}{8}< 0\forall x\)
15 tháng 10 2018
\(M=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)-\left(a-b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(=\left(a^3-b^3\right)-\left(a^3+b^3\right)\)
\(=-2b^3\)
Lại có : \(b< 0\Leftrightarrow-2b^3>0\)
\(\Leftrightarrow M>0\left(đpcm\right)\)
ND
2
27 tháng 9 2023
Ta có \(a^4+b^4\ge2a^2.b^2\) (Bất đẳng thức Cô si với \(a^2;b^2\ge0\) )
Tương tự \(b^4+c^4\ge2b^2.c^2;a^4+c^4\ge2a^2.c^2\)
Do đó: \(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2}{2}=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\)(1)
Ta lại có:\(a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c;b^2c^2+a^2c^2\ge2abc^2;a^2c^2+a^2b^2\ge2a^2bc\)
Nên\(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge a^2bc+ab^2c+abc^2=abc\left(a+b+c\right)=3abc\left(a+b+c=3,gt\right)\)
(1);(2) => \(a^4+b^4+c^4\ge3abc\) ;đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 (*)
Giả sử: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3-3ab\left(a+b+c\right)-3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-ab-bc-ac\right]\ge0\\2.3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\ge0\\
\Leftrightarrow3\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)\ge0\\\Leftrightarrow3\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\ge0\)
Đúng mới mọi a,b,c ϵR
Vậy \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) và đẳng thức xảy ra khi a=b=c=(a+b+c)/3 =1(**)
Ta lại có \(a^4\ge a^3;b^4\ge b^3;c^4\ge c^3\) mà a+b+c = 3
Nên \(a^4+b^4+c^4>a^3+b^3+c^3\) (***)
Từ (*);(**);(***) ta có điều phải chứng minh và đẳng thức xảy ra khi a= b=c=1
18 tháng 4
Tôi có cách chứng minh bằng đồng bậc hóa bất đẳng thức như sau:
ta sẽ chứng minh:
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)>=\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
<=> \(2\left(a^4+b^4+c^4\right)>=ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ca\left(c^2+a^2\right)\)
mà ta có theo bất đẳng thức AMGM \(a^4+b^4>=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}>=\dfrac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)\)
làm tương tự rồi cộng lại, ta có đpcm.
Ta có: \(a^4+a^3b+ab^3+b^4\)
\(=a^3\left(a+b\right)+b^3\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(=\left(a+b\right)^2\cdot\left(a^2-ab+b^2\right)\)
Ta có: \(a^2-ab+b^2\)
\(=a^2-2\cdot a\cdot\frac{1}{2}b+\frac{1}{4}b^2+\frac{3}{4}b^2\)
\(=\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\)
Ta có: \(\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\frac{3}{4}b^2\ge0\forall b\)
Do đó: \(\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\forall a,b\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge0\forall a,b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a+b\right)^2\ge0\forall a,b\)(Vì \(\left(a+b\right)^2\ge0\forall a,b\))
hay \(a^4+a^3b+ab^3+b^4\ge0\forall a,b\)(đpcm)