K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

11 tháng 9 2020

a2 + b2 + 4 ≥ ab + 2( a + b )

Nhân 2 vào từng vế của bất đẳng thức

<=> 2( a2 + b2 + 4 ) ≥ 2[ ab + 2( a + b ) ] 

<=> 2a2 + 2b2 + 8 ≥ 2ab + 4( a + b ) 

<=> 2a2 + 2b2 + 8 ≥ 2ab + 4a + 4b

<=> 2a2 + 2b2 + 8 - 2ab - 4a - 4b ≥ 0

<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 4a + 4 ) + ( b2 - 4b + 4 ) ≥ 0

<=> ( a - b )2 + ( a - 2 )2 + ( b - 2 )2 ≥ 0 ( đúng )

=> đpcm 

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-2=0\\b-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=2\)

11 tháng 9 2020

\(a^2+b^2+4\ge ab+2\left(a+b\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(\forall x,y,z\in R\right)\)

=> đpcm

a: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)

\(=a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+b^2c^2\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)

\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)

b: Bạn ghi lại đề đi bạn

26 tháng 6 2016

a)Ta có:

\(\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)

Do \(\left(a-b\right)^2\ge0\),nên\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

b)Xét \(\left(a+b+c\right)^2+\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\)

Khai triển và rút gọn ta được:\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Vậy \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

7 tháng 12 2018

10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)\(^2\) ≥ 0, nên (a + b)\(^2\) ≤ 2(a2 + b2).

b) Xét : (a + b + c)\(^2\) + (a – b)\(^2\) + (a – c)\(^2\) + (b – c)\(^2\)

. Khai triển và rút gọn, ta được : 3(a\(^2\) + b\(^2\) + c\(^2\)).

Vậy : (a + b + c)\(^2\) ≤  3( a\(^2\) + b\(^2\) + c\(^2\)).

7 tháng 12 2018

Cách khác : Biến đổi tương đương

a, \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)luôn đúng

b, \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\le3a^2+3b^2+3c^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

2:

a: =>a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2<=0

=>-(a^2-2ab+b^2)<=0

=>(a-b)^2>=0(luôn đúng)

b; =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3a^2-3b^2-3c^2<=0

=>-(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)<=0

=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)

9 tháng 2 2016

em chi moi hoc lop 5 thoi a

ma oi nhe

 

 

9 tháng 2 2016

thì lấy về phải pt  a)keo 2 ra ngoai 

                            b)keo 3 ra ngoai 

thì ta sẽ có điều cần chứng minh

 còn = thì khi ẩn = 0

a: \(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)

hay \(\left(a-1\right)^2>=0\)(luôn đúng)

b: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)

\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)=VP\)

6 tháng 1 2022

Cảm ơn  chị rất nhiều

NV
16 tháng 11 2021

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^4+b^4+4a^2b^2}{a^2b^2}\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2\right)}{ab}\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+4a^2b^2\ge3ab\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4-2a^2b^2\right)+6a^2b^2-3ab\left(a^2+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2-3ab\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2-3ab\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2-ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\right]\ge0\) (luôn đúng)

7 tháng 6 2021

a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b

Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=1

b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:

\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)

Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)

Áp dụng (1) vào S ta được:

\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)

\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)

\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 7 2017

Bài 1:

Biến đổi tương đương thôi:

\((ac+bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+b^2d^2+2abcd+a^2d^2+b^2c^2-2abcd\)

\(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)

Ta có đpcm

Bài 2: Áp dụng kết quả bài 1:

\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\geq (ac+bd)^2\) do \((ad-bc)^2\geq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(ad=bc\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

 Câu 29. Chứng minh các bất đẳng thức:a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).Câu 30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.Câu 31. Chứng minh rằng: [x] + [y] ≤ [x + y].Câu 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Câu 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của:  với x, y, z > 0.Câu 36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:a) ab và a/b là số vô tỉ.b) a + b và a/b là số...
Đọc tiếp

 

Câu 29. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).

Câu 30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.

Câu 31. Chứng minh rằng: [x] + [y] ≤ [x + y].

Câu 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

Câu 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của:  với x, y, z > 0.

Câu 36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:

a) ab và a/b là số vô tỉ.

b) a + b và a/b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

Câu 37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:

Câu 39. Chứng minh rằng [2x] bằng 2[x] hoặc 2[x] + 1

Câu 40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.

Câu 41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:

                             Mn giúp em với ;-;

0