Cho tam giác ABC. CMR:
\(a=b.cosC+c.cosB\)
\(b=a.cosC+c.cosA\)
\(c=a.cosB+b.cosA\)
mọi người ơi giúp em với!!
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng tỉ số lượng giác ta có :
\(\sin B=\dfrac{AH}{AB}\Rightarrow AH=AB.\sin B\Rightarrow AH=\sqrt[2]{2}.\sin45^0=1cm\)
\(\cos B=\dfrac{HB}{AB}\Rightarrow HB=AB.\cos B=\sqrt[2]{2}.\cos45^0=1cm\)
\(\tan C=\dfrac{AH}{CH}\Rightarrow HC=\dfrac{AH}{\tan C}=\dfrac{1}{\tan60^0}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(BC=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a/ \(b^2-c^2=ab.cosC-ac.cosB\)
Ta có: \(b.cosC-c.cosB=ab.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-ac.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}-\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}=\dfrac{2b^2-2c^2}{2}=b^2-c^2\) (đpcm)
b/ \(ac.cosC-ab.cosB=ac.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-ab.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
\(=\dfrac{c^2\left(a^2+b^2-c^2\right)-b^2\left(a^2+c^2-b^2\right)}{2bc}=\dfrac{\left(ac\right)^2-\left(ab\right)^2+b^4-c^4}{2bc}\)
\(=\dfrac{-a^2\left(b^2-c^2\right)+\left(b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}{2bc}=\left(b^2-c^2\right).\dfrac{\left(b^2+c^2-a^2\right)}{2bc}\)
\(=\left(b^2-c^2\right).cosA\) (đpcm)
c/ \(cotA+cotB+cotC=\dfrac{cosA}{sinA}+\dfrac{cosB}{sinB}+\dfrac{cosC}{sinC}=\dfrac{2R.cosA}{a}+\dfrac{2R.cosB}{b}+\dfrac{2R.cosC}{c}\)
\(=2R\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}\right)\)
\(=2R\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}\right)=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}.R\) (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\widehat{C}=\widehat{HAB}\)(Cùng phụ với B)
\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)
Xét \(\Delta ACK\)có tổng 2 góc A và C là:
\(\widehat{ACK}+\widehat{CAK}=\widehat{C_2}+\widehat{CAK}=\widehat{A_1}+\widehat{CAK}=\widehat{CAB}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AKC}=180^o-\left(\widehat{CAK}+\widehat{ACK}\right)=180^o-90^o=90^o\)
\(\Rightarrow CK\perp AK\)
P/s: Vì mỗi bài làm khác nhau nên bạn nhớ sửa phần trình bày sao cho giống với cô bạn dạy ấy
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi vận tốc của các con kiến trên 3 cạnh lần lượt là \(v_{AB};v_{BC};v_{AC}\)
Đặt \(\dfrac{v_{AB}}{AB}=\dfrac{v_{BC}}{BC}=\dfrac{v_{AC}}{AC}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_{AB}=k.AB\\v_{BC}=k.BC\\v_{AC}=k.AC\end{matrix}\right.\)
Tại 1 thời điểm t bất kì, giả sử con kiến trên cạnh AB đi tới điểm M, con kiến trên cạnh BC đi tới điểm N, con kiến trên cạnh CA đi tới điểm P
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=t.v_{AB}=t.k.AB\\BN=t.v_{BC}=t.k.BC\\CP=t.v_{CA}=t.k.CA\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=t.k.\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{BN}=t.k.\overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{CP}=t.k.\overrightarrow{CA}\end{matrix}\right.\) (1)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Từ (1) ta có:
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=tk\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)=tk.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{0}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác MNP
\(\Rightarrow\) Tại mọi thời điểm thì tam giác tạo bởi 3 con kiến luôn có trọng tâm không đổi, là điểm trùng với trọng tâm của tam giác ABC
Đề bài sai nhé em, bài toán chỉ đúng trong trường hợp duy nhất, đó là khi vận tốc của các con kiến thỏa mãn \(\dfrac{v_{AB}}{AB}=\dfrac{v_{BC}}{BC}=\dfrac{v_{CA}}{CA}\) (nghĩa là vận tốc con kiến trên cạnh nào thì có độ lớn tỉ lệ với độ dài cạnh ấy). Chuyển động đều là chưa đủ.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\widehat{AEC}=\widehat{BAE}+\widehat{B}\\ =\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}+\widehat{B}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}\right)+\dfrac{1}{2}\widehat{B}-\dfrac{1}{2}\widehat{C}\\ =\dfrac{1}{2}\cdot180^0+\dfrac{1}{2}\left(\widehat{B}-\widehat{C}\right)=90^0+\dfrac{1}{2}\cdot30^0=105^0\)
\(b.cosC+c.cosB=b.\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c.\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
\(=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}=\frac{a^2+b^2-c^2+a^2+c^2-b^2}{2a}=\frac{2a^2}{2a}=a\)
Hai cái dưới chứng minh y hệt