cho a > b >c , a+ b + c = 0 , a^2 + b^2 + c^2 = 6 . TÌm GINN và GTLN của S =a +b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DP
0
LH
0
PT
2
P
10 tháng 3 2018
1) Đặt P = (a-1)/a +(b-1)/b+(c-4)/c
Dễ thấy P = 3 - (1/a + 1/b + 4/c)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki :
(1/a + 1/b + 4/c)(a + b + c) <= [căn(1/a).căn a + căn(1/b).căn b + căn(4/c).căn c]^2 = (1 + 1 + 2)^2 = 16
=> 1/a + 1/b + 4/c <= 16/6 = 8/3
Suy ra : P >= 3 - 8/3 = 1/3
Min P = 3 <=> a = b = 3/2 và c = 3
2) Đặt P = (a+1)/[√(a⁴+a+1) -a²] = {(a + 1).[√(a⁴+a+1) + a²]} / (a^4 + a + 1 - a^2) = (a + 1).[√(a⁴+a+1) + a²]/(a + 1) = √(a⁴+a+1) + a² (nhân liên hợp)
Ta có : 4a^2 + a√2 -√2 = 0
=> a^2 = (√2 - a√2)/4 = (1 - a)/(2√2)
=> a^4 = (1 - 2a + a^2)/8
Do đó P = √[(1 - 2a + a^2)/8 + a + 1] + (1 - a)/(2√2) = √[(a^2 + 6a + 9)/8] + (1 - a)/(2√2) = (a + 3)/(2√2) + (1 - a)/(2√2) = √2 (đpcm)
HM
0
MN
1
3
KT
14 tháng 3 2020
W.L.O.G: \(a\ge b\ge c\Rightarrow2\ge a\ge\frac{a+b+c}{3}=1\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)\le0\)
\(\therefore a^2+b^2+c^2\le a^2+\left(b+c\right)^2=2\left(a-1\right)\left(a-2\right)+5\le5\)
Equality holds when \(\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\) and ..
ND
17 tháng 3 2020
Ta có: a2 + b2 > 2ab, b2 + c2 > 2bc, c2 + a2 > 2ca
=> 2(a2 + b2 + c2) >= 2(ab + bc + ca)
=>3(a2 + b2 + c2) >= (a + b + c)2
=> a2 + b2 + c2 >= \(\frac{\text{(a + b + c)}^2}{3}\)
=> a2 + b2 + c2 >= 3
Dâu = xảy ra khi: a = b = c = 1
29 tháng 5 2019
Có \(\sqrt{a^2+4ab+b^2}=\sqrt{\left(\frac{3}{2}a^2+3ab+\frac{3}{2}b^2\right)-\left(\frac{1}{2}a^2-ab+\frac{1}{2}b^2\right)}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}\left(a+b\right)^2-\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2}\le\sqrt{\frac{3}{2}\left(a+b\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{2}}\left(a+b\right)\)
Tương tự, ta có : \(\sqrt{b^2+4bc+c^2}\le\sqrt{\frac{3}{2}}\left(b+c\right);\sqrt{c^2+4ca+a^2}\le\sqrt{\frac{3}{2}}\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow\)\(S\le\sqrt{\frac{3}{2}}\left(a+b\right)+\sqrt{\frac{3}{2}}\left(b+c\right)+\sqrt{\frac{3}{2}}\left(c+a\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}.2\left(a+b+c\right)=6\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=2\)
7 tháng 6 2021
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)