cho a,b,c không âm chứng minh rằng a^3+b^3+c^3+6abc>=1/4.(a+b+c)^3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
1
22 tháng 2 2018
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm 1-a và 1-c có:
4(1-a)(1-c) =<(1-a+1-c)^2=(1+b)^2
Ta có: 4(1-a)(1-b)(1-c)=<(1+b)^2(1-b)=(1-b^2)(1+b)=<1+b=a+2b+c(đpcm)
Dấu = xảy ra khi b=0;a=c=1/2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 3 2023
a.
Bình phương 2 vế, BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}+\sqrt{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}+\sqrt{\left(c^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge6\)
Ta có:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(1+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\)
Tương tự cộng lại:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}+\sqrt{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}+\sqrt{\left(c^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge2\left(a+b+c\right)=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b.
\(\sum\dfrac{a+1}{a^2+2a+3}=\sum\dfrac{a+1}{a^2+1+2a+2}\le\sum\dfrac{a+1}{4a+2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\sum\dfrac{a+1}{4a+2}\le1\Leftrightarrow\sum\dfrac{4a+4}{4a+2}\le4\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{2a+1}\ge1\)
Đúng đo: \(\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{1}{2c+1}\ge\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)+3}=1\)
LV
10 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz :
\(VT=\frac{a^4}{ab+ac+ad}+\frac{b^4}{ab+bc+bd}+\frac{c^4}{cd+ac+bc}+\frac{d^4}{ad+bd+cd}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
Mà \(3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)( dễ dàng chứng minh nó bằng AM-GM)
nên \(VT\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+d^2\ge2cd;d^2+a^2\ge2ad\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+bc+cd+da=1\)
do đó \(VT\ge\frac{1}{3}\)
Dấu''='' xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 5 2019
\(a+b+c=6abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=6\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a}=x\\\frac{1}{b}=y\\\frac{1}{c}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xy+xz+yz=6\)
\(P=\sum\frac{\frac{1}{yz}}{\frac{1}{x^3}\left(\frac{1}{z}+\frac{2}{y}\right)}=\sum\frac{x^3}{y+2z}=\sum\frac{x^4}{xy+2xz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+xz+yz\right)}\ge\frac{\left(xy+xz+yz\right)^2}{3\left(xy+xz+yz\right)}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 5 2020
\(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z+xy+yz+zx=6\)
Ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Thật vậy:
\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)
\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Cộng vế với vế:
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\)
khai triển và rút gọn ta được:
\(4a^3+4b^3+4c^3+24abc\ge\left(a+b+c\right)^3.\)<=> \(a^3+b^3+c^3+8abc\ge\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)<=> a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) +c(c-a)(c-b) +3abc\(\ge0\)
giả sử \(a\ge b\ge c\)
c(c-a)(c-b)\(\ge0\)
a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) = (a-b)(a2 - b2 + bc-ac) = (a-b)2(a+b-c) \(\ge0\)
3abc\(\ge0\)
cộng vế theo vế ta được bdt cần chứng minh
dâu '=' khi \(\hept{\begin{cases}c\left(c-a\right)\left(c-b\right)=0\\\left(a-b\right)^2\left(a+b-c\right)=0\\3abc=0\end{cases}}\)=> a=b; c=0