Cho a,b,c,d > 0. CMR: 1 < (a b)/(a b c) (b c)/(b c d) (c d)/(c d a) ( d a)/((d a b) < 3Minh da lam dc nua y roi ( y 1

#Toán lớp 8

1

TP

Trần Phúc Khang

23 tháng 5 2019

Ta có $\frac{x}{y}< \frac{x+m}{y+m}$khi 0<x<y,m>0

Áp dụng ta được

$\frac{a+b}{a+b+c}< \frac{a+b+d}{a+b+c+d}$

$\frac{b+c}{b+c+d}< \frac{a+b+c}{a+b+c+d}$

....................................................

Khi đó

$VT< \frac{a+b+d+a+b+c+c+d+b+d+a+c}{a+b+c+d}=3$

Vậy VT<3

1.a)CMR từ tỉ lệ a/b=c/d (a khác b và -b,c khác d và -d) ta có tỉ lệ thức a+b/a-b = c+d/c-d. b)CMR nếu có a+b/a-b = c+d/c-d (a,b,c,d khác 0) thì a/b=c/d. 2.Cho 4 số a,b,c,d khác 0 . Thỏa mãn a/b = b/c = c/d. CMR (a+b+c/b+c+d)^2 = a/d. 3.CMR nếu có (a+b+c+d)(a-b-c-d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d) với a,b,c,d khác 0 và các biểu thức trong ngoặc khác 0 thì a/b=c/d. 4.CMR nếu a+c=2b và 2bd=c(b+d)thì a/b=c/d với b,d khác 0. 5. Cho a,b,c khác 0 , thỏa mãn $^{b^2}$=ac CMR...

HS

Hồ Sỹ Sơn

6 tháng 3 2018

1

HS

Hồ Sỹ Sơn

7 tháng 3 2018

chỉ cần bài 1,2,3 nữa thui ak

Bài 1 : cho x, y >0 và x2+y2=1. Tìm GTNN của $P=\left(1+x\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ Bài 2 : cho a, b, c > 0. CMR $\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{2b+a+c}+\dfrac{1}{2c+a+b}$ Bài 3 : cho a, b, c, d >0....

NP

Nguyên Phạm

17 tháng 8 2018

a) cho x,y,z>0 sao cho xyz=1. CMR $\frac{x^4y}{x^2+1}+\frac{y^4z}{^{y^2+1}}+\frac{z^4x}{^{z^2+1}}\ge\frac{3}{2}$
b) cho a,b,c,d>0 sao cho a+b+c+d=4. CMR $\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2d}\ge2$

#Toán lớp 8

0

NM

Nguyễn Mary

10 tháng 7 2018

#Toán lớp 9

3

AH

Akai Haruma

Giáo viên

10 tháng 7 2018

Bài 1:

$P=(x+1)\left(1+\frac{1}{y}\right)+(y+1)\left(1+\frac{1}{x}\right)$

$=2+x+y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Áp dụng BĐT Cô-si:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$

$x+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$

$y+\frac{1}{2y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$

Áp dụng BĐT SVac-xơ kết hợp với Cô-si:

$\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\geq \frac{4}{2x+2y}=\frac{2}{x+y}\geq \frac{2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Cộng các BĐT trên :

$\Rightarrow P\geq 2+2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}$

Vậy $P_{\min}=4+3\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$

AH

Akai Haruma

Giáo viên

10 tháng 7 2018

Bài 2:

Áp dụng BĐT Svac-xơ:

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+a+2c}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}$

$\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{b+c+2a}\geq \frac{4}{2b+4c+2a}=\frac{2}{b+2c+a}$

$\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{c+a+2b}\geq \frac{4}{2c+4a+2b}=\frac{2}{c+2a+b}$

Cộng theo vế và rút gọn :

$\Rightarrow \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

1.Cho a+b+c+d ≠0 và $\frac{a}{b+c+d}$=$\frac{b}{a+c+d}$=$\frac{c}{a+b+d}$=$\frac{d}{a+b+c}$Tính giá trị của A=$\frac{a+b}{c+d} $+$\frac{b+c}{a+d}$+$\frac{c+d}{a+b}$+$\frac{d+a}{b+c}$2.Tìm x,y,z biết...

OO

✞ঔৣ۝мʏ ʏouтн ιs ʙʟᴀcκᴘιɴκঔ⁀ᶦᵈᵒᶫ

6 tháng 7 2021

Câu 1 :Cho tỉ lệ thức a/b=c/d với b,c,d khác 0và c khác -dCmr: a+b/b=c+d/dCâu 2: cho tỉ lệ thức a/b=c/d với b,c,d khác 0 và a khác -b,c khác -d.Cmr: a/a+b=c/c+dCâu 3: cho a+b/a-b=c+d/c-d(a,b,c,d khác 0 và a khác b, c khác âm dương c)Cmr a/b=c/dCâu 4: cho tỉ lệ thức a/b=c/d với a,b,c,d khác 0 Cmr ac/bd=a^2+c^2 /b^2+d^2Câu 5: cho tỉ lệ thức a/b=c/d với a,b,c,d khác 0 và c khác d Cmr: (a-b)^2/(c-d)^2=ab/cdCâu 6: cho tỉ lệ thức a/b=c/d...

2

LT

Lê Thị Thục Hiền

6 tháng 7 2021

1, $\dfrac{a}{b+c+d}=\dfrac{b}{a+c+d}=\dfrac{c}{a+b+d}=\dfrac{d}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c+d}{3\left(a+b+c+d\right)}=\dfrac{1}{3}$

Do đó $\left\{{}\begin{matrix}3a=b+c+d\left(1\right)\\3b=a+c+d\left(2\right)\\3c=a+b+d\left(3\right)\\3d=a+b+c\left(4\right)\end{matrix}\right.$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow3\left(a+b\right)=a+b+2c+2d\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=2\left(c+d\right)\Leftrightarrow a+b=c+d\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{c+d}=1$

Tương tự cũng có: $\dfrac{b+c}{a+d}=1;\dfrac{c+d}{a+b}=1;\dfrac{d+a}{b+c}=1$

$\Rightarrow A=4$

2, Có $\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}$$\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{14}{56}=\dfrac{1}{4}$

Do đó $\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{1}{4};\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{1}{4};\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.$

Vậy $\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right),\left(-1;-2;-3\right)$

Đúng(2)

NN

Nguyễn Ngọc Lộc

6 tháng 7 2021

Bài 2 :

a, Ta có : $\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}$

$\Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}$

$\Rightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.$

Vậy ...

b, Ta có : $\dfrac{2x+1}{5}=\dfrac{3y-2}{7}=\dfrac{2x+3y-1}{5+7}=\dfrac{2x+3y-1}{6x}$

$\Rightarrow6x=12$

$\Rightarrow x=2$

$\Rightarrow y=3$

Vậy ...

Đúng(2)

BA

Bùi anh tuấn

22 tháng 11 2018

3

ML

My Love bost toán

22 tháng 11 2018

Câu 1

Ta có : $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\left(\frac{a}{b}+1\right)=\left(\frac{c}{d}+1\right)\left(=\right)\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$

=> ĐPCM

Câu 2

Ta có $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=>\left(\frac{b}{a}+1\right)=\left(\frac{d}{c}+1\right)\left(=\right)\frac{b+a}{a}=\frac{d+c}{c}=>\frac{a}{b+a}=\frac{c}{d+c}$

=> ĐPCM

Câu 3

ML

My Love bost toán

22 tháng 11 2018

Câu 3

Ta có $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$(=) (a+b).(c-d)=(a-b).(c+d)(=)ac-ad+bc-bd=ac+ad-bc-bd(=)-ad+bc=ad-bc(=) bc+bc=ad+ad(=)2bc=2ad(=)bc=ad=> $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

=> ĐPCM

Câu 4

Đặt $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$

$=>\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}$

Ta có $\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=k^2\left(1\right)$

Lại có $\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2k^2+c^2k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2.\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(2\right)$

Từ (1) và (2) => ĐPCM

Đúng(1)

MP

Mạnh Phan

12 tháng 1 2021

Cho a,b,c,d>0. CMR :$1< \dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}< 2$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

12 tháng 1 2021

$\dfrac{a}{a+b+c}>\dfrac{a}{a+b+c+d}$

Làm tương tự với 3 phân số còn lại và cộng vế với vế

$\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a+d}{a+b+c+d}$

Làm tương tự với 3 phân số còn lại và cộng vế với vế

Đúng(2)

HS

✎H̸i̸ế̸u̸ ❖ ℜ𝔒S̼𝓔 ²ᵏ¹¹❖ᵀᴹ (Bị dính....

4 tháng 12 2023

Cho a,b,c,d>0. CMR: 1 <$\dfrac{a}{a+b+c}$+$\dfrac{b}{b+c+d}$+$\dfrac{c}{c+d+a}$+$\dfrac{d}{d+a+b}$< 2

Bài 2: Cho a<b<c<d. CMR : (a+b)(c+d) < (a+c)(b+d) Bài 3: CMR: ( ab+cd)2 =< ( a2+c2)(b2+d2) Bài 4: Cho 0 =<x,y=<1. CMR : $\frac{1}{x^{2^{ }}+1}$ + $\frac{1}{y^{2^{ }}+1}$ =< $\frac{2}{xy+1}$ Bài 5: Cho x,y >0 và x+y=2. Tìm GTNN a) A=1/xy b) B=1/x +1/y c) C=x2 + y2 d) D=x4 +...

0

NQ

nguyen quy duong

22 tháng 1 2016

1)Rút gọn biểu thức

a)(a+b-c)^2+(a-b+c)^2-2(b-c)^2

b)(a+b+c)^2+(a-b-c)^2+(b-c-a)^2+(c-a-b)^2

c)(a+b+c+d)^2+(a+b-c-d)^2+(a+c-b-d)^2+(a+d-c-b)^2

2)CMR:(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz) với x,y,z khác 0 thì x/a=b/y=c/z

3)Cho (a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2).CMR a=b=c

4)Cho (a+b+c)^2=3(ab+bc+ca).CMR a=b=c

#Toán lớp 8

0

TC

Tên Của Tôi

30 tháng 8 2019