Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp đường tròn (O) có CD//BE. Hai đường chéo CE và BD cắt nhau tại P. Điểm M thuộc đoạn thẳng BE sao cho góc MAB = góc PAE. Điểm K thuộc đường thẳng AC sao cho MK//AD. Điểm...

1

A

♡ᏂàᏁッᏁᏂi♡

31 tháng 3 2019

khó kinh khủng

Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp đường tròn (O) có CD//BE. Hai đường chéo CE và BD cắt nhau tại P. Điểm M thuộc đoạn thẳng BE sao cho góc MAB = góc PAE. Điểm K thuộc đường thẳng AC sao cho MK//AD. Điểm L thuộc đường thẳng AD sao cho ML//AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC lần lượt cắt BD, CE tại Q, S. a) CMR: 3 điểm K,M,Q thẳng hàng ?b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LDE cắt BD,CE tại T,R. CMR: 5...

I

Incognito

19 tháng 12 2018

2

NT

Nguyễn Tất Đạt

19 tháng 12 2018

a) Ta thấy: Tứ giác BKQC nội tiếp đường tròn => ^CKQ = ^CBQ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CQ) (1)

Ta có: MK // AD => ^CKM = ^CAD (Đồng vị) . Mà ^CAD = ^CBD (Cùng chắn cung CD) => ^CKM = ^CBD (2)

Từ (1) và (2) => ^CKQ = ^CKM => 2 tia KQ và KM trùng nhau => 3 điểm K,M,Q thẳng hàng (đpcm).

b) Sửa đề: "5 điểm M,S,Q,R,T thẳng hàng ?"

Chứng minh tương tự câu a, ta có: 3 điểm L,M,R thẳng hàng => ^RMQ = ^KML (Đối đỉnh)

Tứ giác AKML là hình bình hành => ^KML = ^KAL = ^CAD. Do đó; ^RMQ = ^CAD (3)

Lại có: ^RTQ = ^RED (Cùng chắn cung RD); ^RED = ^CED = ^CAD => ^RTQ = ^CAD (4)

Từ (3) và (4) => ^RMQ = ^RTQ => Tứ giác RTMQ nội tiếp hay 4 điểm R,T,M,Q thuộc 1 đường tròn (*)

Mặt khác: ^TRS = ^BDE = ^BCE = ^TQS => Tứ giác TRQS nội tiếp hay 4 điểm T,R,Q,S thuộc 1 đường tròn (**)

Từ (*) và (**) => 5 điểm M,S,Q,R,T cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm).

c) Giả sử S là 1 điểm chung của (PQR) và (O). Kẻ tia tiếp tuyến Fx của (O). Ta chứng minh Fx cũng là tiếp tuyến của (PQR)

Thật vậy: Gọi giao điểm thứ hai của AF với (PQR) là N. Kéo dài tia AP cắt (O) tại I.

Do L,M,R thẳng hàng; ML // AC => MR // AC => ^RMF = ^CAF (Đồng vị). Mà ^CAF = ^REF

Nên ^RMF = ^REF => Tứ giác EMRF nội tiếp => ^RFM = ^REM hay ^RFN = ^REM

Ta thấy: ^RFN = ^RPN => ^REM = ^RPN. Do 2 góc này đồng vị nên PN // EM hoặc PN // BE (5)

Xét đường tròn (O): 2 dây CD // BE => (BC=(DE => ^BAC = ^EAD

Có ^MAB = ^PAE => ^MAB - ^BAC = ^PAE - ^EAD => ^CAF = ^DAI => (CF=(ID

Xét (O): (CF = (ID, F và I nằm cùng phía so với CD => IF // CD => IF // BE (6)

Từ (5) và (6) => PN // IF => ^FIA = ^NPA (Đồng vị)

Dễ dàng c/m được PF = PI ($\Delta$PCF = $\Delta$PDI) => ^PIF = ^PFI hay ^FIA = ^PFI

Ta lại có: ^PFx = ^PFI + ^IFx = ^FIA + ^FAI = ^NPA + ^FAI = ^NPA + ^NAP = ^FNP (Góc ngoài)

Mà ^FNP = 1/2.Sđ(FP => ^PFx = 1/2.Sđ(FP => Fx là tia tiếp tuyến của đường tròn (PQR) => Đpcm.

NT

Nguyễn Tất Đạt

19 tháng 12 2018

Sorry, "5 điểm M,S,Q,R,T cùng nằm trên 1 đường tròn", mik gõ lộn :(

K

kaitovskudo

26 tháng 8 2018

Ngũ giác lồi ABCDEF nội tiếp (O) có CD song song BE.CE cắt BD tại P.M thuốc BE: gMAB=gPAE.K thuộc đường thẳng AC sao cho MK song song AD, L thuộc đường thẳng AD sao cho ML song song AC.(KBC) cắt BD,CE tai Q,S(Q khác B,S khác C).(LDE) cắt BD,CE tại T,R( T khác D, R khác E).CMR: (PQR) tiếp xúc (O)

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Gọi $F$ là điểm thuộc đường thẳng $AD$ sao cho $EF$ vuông góc với $AD$. Đường thẳng $CF$ cắt đường tròn đường kính $AD$ tại điểm thứ hai là $M$. Gọi $N$ là giao điểm của $BD$ và $CF$. Chứng minh rằng: a) $CEFD$ nội tiếp đường tròn. b) $FA$ là đường phân giác của góc $BFM$. c) $BD.NE =...

0

CH

Cô Hoàng Huyền

Admin VIP

22 tháng 3 2021

cho nửa hình tròn tâm (O),đường kính AB.Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C,D sao cho C thuộc cung AD và số đo của cung CD bằng 60"(điểm C không trùng điểm A,điểm D không trùng điểm B và đường thẳng CD không song song với đường thẳng AB).Đường thẳng AC cắt đường thẳng BD tại K,đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại I.a,Chứng minh KCID là tứ giác nội tiếp và tính số đo góc AKBb,Chứng...

0

N

nhongoc15

6 tháng 5 2015

3

VP

vo phi hung

3 tháng 5 2018

VE HINH

â) Xét tứ giác KCID ,co:

gocI = (cungAB+cungCD):2 = (180+60):2 = 120 độ

gocK=(cungAB-cungCD):2 =(180-60):2=60 độ

gócI+gocK=120do+60do=180 do

Vay : tứ giác KCID nội tiếp (tổng số đo 2 góc đối diện=180 độ )

:góc AKB = 60 độ

VP

vo phi hung

3 tháng 5 2018

b)Ta có:AB//CD

=>cungAC=cungBD=(180-60):2=60 do (2 cung nằm giữa 2 dây song song thì = nhau )

=>AC=BD(2 dây chan 2 cung = nhau thi = nhau ) (1)

=>tứ giác ACDB là hình thang cân

***Xét : 3giac AKDva 3giac BKC ,co:

gocD=gocC=90do (vi gocC va gocD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

gocCAD=gocDBC(2goc noi tiep cung chan cungCD)

AD=BC(2 đường chéo của hình thang cân thì = nhau )(cmt)

Do do:3giacAKD =3giacBKC (g-c-g)

=>KD=KC (2 canh tương ứng) (2)

Ta lại có :KA=KC+AC(C nam giua A va K)

}(3)

:KB=KD+BD(D nam giua B va K)

Tu (1) ,(2) va (3) suy ra KA=KB (4)

Tu (2) va (4) suy ra KA.KC=KB.KD .

PA

Phuongg Anh

12 tháng 3 2023

Cho đường tròn (O) đường kính BC , A là một điểm thuộc (O) sao cho AB < AC , D là điểm giữa O và C . Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E và cắt đường thẳng BE tại F a, Chứng minh tứ giác ABDE và ADCF nội tiếp b, Chứng minh góc AEF = góc ABC c, Tiếp tuyến tại A của (O) cắt DE tại M . Chứng minh tam giác AME cân tại M

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

13 tháng 3 2023

a: góc BAC=1/2*sđ cung BC=90 độ

Vì góc BAE+góc BDE=180 độ

=>BAED nội tiếp

góc CAF=góc CDF=90 độ

=>CFAD nội tiếp

b: góc AEF+góc AFE=90 dộ

góc ABC+góc ACB=90 độ

mà góc AFE=góc ACB(=90 độ-góc B)

nên góc AEF=góc ABC

PA

Phuongg Anh

12 tháng 3 2023

Cho đường tròn (O) đường kính BC , A là một điểm thuộc (O) sao cho AB < AC , D là điểm giữa O và C . Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E và cắt đường thẳng BE tại F a, Chứng minh tứ giác ABDE và ADCF nội tiếp b, Chứng minh góc AEF = góc ABC c, Tiếp tuyến tại A của (O) cắt DE tại M . Chứng minh tam giác AME cân tại M

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

13 tháng 3 2023

a: góc BAC=1/2*sđ cung BC=90 độ

Vì góc BAE+góc BDE=180 độ

=>BAED nội tiếp

góc CAF=góc CDF=90 độ

=>CFAD nội tiếp

b: góc AEF+góc AFE=90 dộ

góc ABC+góc ACB=90 độ

mà góc AFE=góc ACB(=90 độ-góc B)

nên góc AEF=góc ABC

c: góc MAE=1/2*sđ cung AC

góc MEA=góc DEC=90 độ-góc ACB=góc ABC=1/2*sđ cung AC

=>góc MAE=góc MEA

=>ΔMAE cân tại M

MY

Mika Yuuichiru

11 tháng 3 2020

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, M là trung điểm BC.D thuộc (O) sao cho MB là phân giác góc AMD. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt (O) tại E.Chứng minh BE cắt AD tại trung điểm của AD.

1

NQ

Nguyễn Quang Đức

12 tháng 3 2020

Mình giải hơi dài không biết có đúng không. Bạn tự vẽ hình nha!

Gọi F là trung điểm của AD. I là trung điểm của AC. Ta qui về chứng minh B,F,E thẳng hàng

Trước hết ta chứng minh bài toàn phụ: Từ S ngoài (O) kẻ 2 tiếp tuyến SC,SB và cát tuyến SDA, gọi M là giao của SO với BC thì BC là phân giác của góc AMD (bạn tự chứng mình nha).

Áp dụng vào bài toán ta có: AOMD nội tiếp $\Rightarrow\widehat{AOD}=\widehat{AMD}\Leftrightarrow\frac{1}{2}\widehat{AOD}=\frac{1}{2}\widehat{AMD}\Leftrightarrow\widehat{ACD}=\widehat{AMB}$

mà $\widehat{ACD}+\widehat{ABD}=180^o,\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{AMC}$

Xét (O) ta có: $\widehat{ADB}=\widehat{ACB}$

Suy ra $\Delta ABD$đồng dạng với $\Delta AMC$(g,g) mà F là trung điểm AD, I là trung điểm AC suy ra tam giác ABF đồng dạng với tam giác AMI (c.g.c) suy ra $\widehat{ABF}=\widehat{AMI}$

Dễ thấy: $\widehat{OMI}+\widehat{OIC}=90^o+90^o=180^o$suy ra OMCI nội tiếp suy ra $\widehat{MIC}=\widehat{MOC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\widehat{BAC}\Rightarrow\widehat{AIM}=\widehat{BDC}$

Kết hợp với $\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=\widehat{MAC}$(do tam giác ABD đồng dạng với tam giác AMC) suy ra tam giác AIM đồng dạng với tam giác CDB(g.g) suy ra $\widehat{ABF}=\widehat{AMI}=\widehat{CBD}=\widehat{CAD}=\widehat{ACE}\left(AD//CE\right)=\widehat{ABE}$suy ra B,F,E thẳng hàng hay BE đi qua trung điểm AD (đpcm)

BÀI 1 cho tam giác ABC vuông tại A .Nữa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D.Trên cung AD lấy một điểm E .Nối BE và kéo dài AC tại F.Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp BÀI 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định ,CD là đường kính thay đổi của đường tròn (O) ( khác AB ) .Tiếp tuyến tại B của (O ) cắt AC và AD lần lượt tại N và M .Chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp BÀI 3 :Cho hai đoạn...

NT

nguyển thị thảo

29 tháng 5 2015