K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

26 tháng 3 2019

C/M công thức tổng quát:\(n^3>n^3-n\Rightarrow\frac{1}{n^3}< \frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{n\left(n^2-1\right)}=\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{n^3}< \frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)

Đặt \(A=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+.....+\frac{1}{2017^3}\)

Áp dụng vào bài toán,ta được:\(A< \frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+....+\frac{1}{2016\cdot2017\cdot2018}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4}-\frac{1}{4\cdot5}+....+\frac{1}{2016\cdot2017}-\frac{1}{2017\cdot2018}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2017\cdot2018}\right)\)

\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\cdot2017\cdot2018}\)

\(< \frac{1}{2^2}^{ĐPCM}\)

18 tháng 8 2020

cảm ơn bạn nhiều

Ta có: \(A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{2017}}\)

\(3A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{2016}}\)

\(2A=3A-A=1-\frac{1}{3^{2017}}\)

=> \(A=\left(1-\frac{1}{3^{2017}}\right):2\)

\(A=\frac{1}{2}-\frac{1}{3^{2017}}:2< \frac{1}{2}\)

Vậy: \(A< \frac{1}{2}\)

4 tháng 4 2017

Xét \(A=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{2017!}\)

\(A=1+1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{2016!}-\frac{1}{2017!}=2-\frac{1}{2017!}< 2\)

Như vậy A+1<2+1=3

Vậy ta có đpcm

2 tháng 4 2017

bạn phân tích thì ra

2 tháng 4 2017

Trừ 1 đi thì ta chỉ cần chứng minh từ \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2017^2}\)                                                                                                         \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\)                                                                                                                                                       \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)      ....... cứ nhu vậy cho đến \(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

Vì \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}< 1\)

 Vậy S < 2